Plocha

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Plocha|700}}
+
'''Plocha''' označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný [[geometrický útvar]]. Příkladem ploch jsou [[rovina]], [[Sféra (matematika)|kulová plocha]], povrch [[válec|válce]] nebo [[kuželová plocha]]. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
-
 
+
 
-
[[Kategorie:Geometrie]]
+
Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení [[geometrický útvar|geometrického útvaru]], ale také pro označení [[obsah]]u geometrického útvaru.
 +
 
 +
== Plochy v euklidovském prostoru ==
 +
 
 +
V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice|rovnici]]
 +
:<math>F(x,y,z)=0</math>,
 +
kde <math>F</math> je [[funkce (matematika)|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost|spojitou]] [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
 +
 
 +
Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.
 +
 
 +
Singulární bod, v němž funkce <math>F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.
 +
 
 +
Plocha určená svojí [[normála plochy|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.
 +
 
 +
Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
 +
 
 +
=== Implicitní rovnice plochy ===
 +
Implicitní rovnice plochy má tvar
 +
:<math>F(x,y,z)=0</math>
 +
 
 +
=== Parametrické rovnice ===
 +
Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic|soustavou rovnic]]
 +
:<math>x=x(u,v)</math>
 +
:<math>y=y(u,v)</math>
 +
:<math>z=z(u,v)</math>
 +
Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <math>u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <math>u, v</math> z určitého oboru <math>\Omega</math> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <math>\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <math>u</math> a <math>v</math>.
 +
 
 +
=== Explicitní rovnice plochy ===
 +
Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
 +
:<math>z=f(x,y)</math>,
 +
pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
 +
 
 +
== Základní rovnice plochy ==
 +
Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <math>\mathbf{n}</math>, [[rádiusvektor]]em <math>\mathbf{r}</math> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.
 +
 
 +
{{Upravit}}
 +
=== Weingartenovy rovnice plochy ===
 +
'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <math>\mathbf{n}</math> a <math>\mathbf{r}</math>.
 +
:<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
 +
:<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
 +
:
 +
:<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
 +
:<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
 +
kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
 +
 
 +
=== Gaussovy rovnice plochy ===
 +
'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <math>\mathbf{r}</math>.
 +
:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>
 +
:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>
 +
:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>
 +
kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
 +
 
 +
=== Codazziho rovnice plochy ===
 +
'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <math>E, F, G</math> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <math>L, M, N</math>.
 +
:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
 +
:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>
 +
 
 +
== Vlastnosti ==
 +
* Zavedeme [[matice|matici]]  
 +
:<math>\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>
 +
Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <math>h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <math>h<2</math>, pak jde o singulární body.
 +
 
 +
* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <math>\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <math>h=2</math>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Prostorové geometrické útvary]]
 +
* [[Přímková plocha]]
 +
* [[Kvadrika|Kvadratická plocha]]
 +
* [[Kuželová plocha]]
 +
* [[Válcová plocha]]
 +
* [[Obsah]]
 +
 
 +
== Externí odkazy ==
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]
[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]

Verze z 17. 2. 2014, 12:02

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Obsah

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

<math>F(x,y,z)=0</math>,

kde <math>F</math> je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce <math>F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

<math>F(x,y,z)=0</math>

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

<math>x=x(u,v)</math>
<math>y=y(u,v)</math>
<math>z=z(u,v)</math>

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž <math>u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <math>u, v</math> z určitého oboru <math>\Omega</math> nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <math>\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <math>u</math> a <math>v</math>.

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

<math>z=f(x,y)</math>,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy <math>\mathbf{n}</math>, rádiusvektorem <math>\mathbf{r}</math> a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.


Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů <math>\mathbf{n}</math> a <math>\mathbf{r}</math>.

<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>

kde <math>E, F, G</math> jsou základní veličiny plochy prvního řádu a <math>L, M, N</math> jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru <math>\mathbf{r}</math>.

<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>
<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>
<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>

kde <math>E, F, G</math> jsou základní veličiny plochy prvního řádu a <math>L, M, N</math> jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu <math>E, F, G</math> a základními veličinami plochy druhého řádu <math>L, M, N</math>.

<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>

Vlastnosti

<math>\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost <math>h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <math>h<2</math>, pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <math>\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <math>h=2</math>, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

Externí odkazy

Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Plocha“