Plocha
Z Multimediaexpo.cz
m (1 revizi) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| (Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.) | |||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
| - | {{ | + | '''Plocha''' označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný [[geometrický útvar]]. Příkladem ploch jsou [[rovina]], [[Sféra (matematika)|kulová plocha]], povrch [[válec|válce]] nebo [[kuželová plocha]]. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší. |
| - | + | ||
| - | [[ | + | Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení [[geometrický útvar|geometrického útvaru]], ale také pro označení [[obsah]]u geometrického útvaru. |
| + | |||
| + | == Plochy v euklidovském prostoru == | ||
| + | |||
| + | V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice|rovnici]] | ||
| + | :<big>\(F(x,y,z)=0\)</big>, | ||
| + | kde <big>\(F\)</big> je [[funkce (matematika)|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost|spojitou]] [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule. | ||
| + | |||
| + | Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e. | ||
| + | |||
| + | Singulární bod, v němž funkce <big>\(F\)</big> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy. | ||
| + | |||
| + | Plocha určená svojí [[normála plochy|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''. | ||
| + | |||
| + | Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech. | ||
| + | |||
| + | === Implicitní rovnice plochy === | ||
| + | Implicitní rovnice plochy má tvar | ||
| + | :<big>\(F(x,y,z)=0\)</big> | ||
| + | |||
| + | === Parametrické rovnice === | ||
| + | Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic|soustavou rovnic]] | ||
| + | :<big>\(x=x(u,v)\)</big> | ||
| + | :<big>\(y=y(u,v)\)</big> | ||
| + | :<big>\(z=z(u,v)\)</big> | ||
| + | Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v\)</big> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>\(u, v\)</big> z určitého oboru <big>\(\Omega\)</big> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>\(\Omega\)</big> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>\(u\)</big> a <big>\(v\)</big>. | ||
| + | |||
| + | === Explicitní rovnice plochy === | ||
| + | Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar | ||
| + | :<big>\(z=f(x,y)\)</big>, | ||
| + | pak hovoříme o explicitní rovnici plochy. | ||
| + | |||
| + | == Základní rovnice plochy == | ||
| + | Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}\)</big>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}\)</big> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\)</big> uvést v různých tvarech. | ||
| + | |||
| + | {{Upravit}} | ||
| + | === Weingartenovy rovnice plochy === | ||
| + | '''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}\)</big> a <big>\(\mathbf{r}\)</big>. | ||
| + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big> | ||
| + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big> | ||
| + | : | ||
| + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)</big> | ||
| + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)</big> | ||
| + | kde <big>\(E, F, G\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]]. | ||
| + | |||
| + | === Gaussovy rovnice plochy === | ||
| + | '''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}\)</big>. | ||
| + | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}\)</big> | ||
| + | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}\)</big> | ||
| + | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}\)</big> | ||
| + | kde <big>\(E, F, G\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]]. | ||
| + | |||
| + | === Codazziho rovnice plochy === | ||
| + | '''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G\)</big> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>\(L, M, N\)</big>. | ||
| + | :<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0\)</big> | ||
| + | :<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0\)</big> | ||
| + | |||
| + | == Vlastnosti == | ||
| + | * Zavedeme [[matice|matici]] | ||
| + | :<big>\(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}\)</big> | ||
| + | Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <big>\(h=2\)</big> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>\(h<2\)</big>, pak jde o singulární body. | ||
| + | |||
| + | * Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega\)</big> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>\(h=2\)</big>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''. | ||
| + | |||
| + | == Související články == | ||
| + | * [[Prostorové geometrické útvary]] | ||
| + | * [[Přímková plocha]] | ||
| + | * [[Kvadrika|Kvadratická plocha]] | ||
| + | * [[Kuželová plocha]] | ||
| + | * [[Válcová plocha]] | ||
| + | * [[Obsah]] | ||
| + | |||
| + | == Externí odkazy == | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {{Článek z Wikipedie}} | ||
[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]] | [[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]] | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53
Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.
Obsah |
Plochy v euklidovském prostoru
V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici
- \(F(x,y,z)=0\),
kde \(F\) je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.
Singulární bod, v němž funkce \(F\) má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.
Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.
Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
Implicitní rovnice plochy
Implicitní rovnice plochy má tvar
- \(F(x,y,z)=0\)
Parametrické rovnice
Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic
- \(x=x(u,v)\)
- \(y=y(u,v)\)
- \(z=z(u,v)\)
Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž \(u, v\) jsou parametry plochy. Každou dvojici \(u, v\) z určitého oboru \(\Omega\) nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na \(\Omega\) spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle \(u\) a \(v\).
Explicitní rovnice plochy
Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
- \(z=f(x,y)\),
pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
Základní rovnice plochy
Vztahy mezi normálou plochy \(\mathbf{n}\), rádiusvektorem \(\mathbf{r}\) a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\) uvést v různých tvarech.
| Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. |
|
Weingartenovy rovnice plochy
Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů \(\mathbf{n}\) a \(\mathbf{r}\).
- \(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)
- \(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)
- \(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)
- \(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)
kde \(E, F, G\) jsou základní veličiny plochy prvního řádu a \(L, M, N\) jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Gaussovy rovnice plochy
Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru \(\mathbf{r}\).
- \(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}\)
- \(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}\)
- \(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}\)
kde \(E, F, G\) jsou základní veličiny plochy prvního řádu a \(L, M, N\) jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Codazziho rovnice plochy
Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu \(E, F, G\) a základními veličinami plochy druhého řádu \(L, M, N\).
- \((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0\)
- \((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0\)
Vlastnosti
- Zavedeme matici
- \(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}\)
Body plochy, v nichž má tato matice hodnost \(h=2\) jsou regulárními body. Je-li hodnost matice \(h<2\), pak jde o singulární body.
- Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v \(\Omega\) nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost \(h=2\), pak plochu označujeme jako hladkou.
Související články
- Prostorové geometrické útvary
- Přímková plocha
- Kvadratická plocha
- Kuželová plocha
- Válcová plocha
- Obsah
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |