Sféra (matematika)
Z Multimediaexpo.cz
V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.
Definice
- V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována <math>S^n:=\{ x\in R^{n+1}, \sum_i x_i^2=r^2\}</math>
- V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru <math>R^n</math>. Pro <math>n=\infty</math> se také definuje sféra <math>S^\infty</math>, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.
Vlastnosti
- n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
- Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je <math>4\pi r^2</math>, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r <math>{2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.</math>
- Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
- Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
- Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
- Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný z sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen).
- Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
- Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou <math>S^0, S^1, S^3, S^7</math> (paralelizovatelnost <math>S^7</math> má souvislost s oktoniony).
- Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole právě když n je liché.
- 2-sféra může mít strukturu komplexní variety
Otevřené problémy
- Homotopie sféry nejsou obecně známy.
- Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
- Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
- Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |