Sigma algebra
Z Multimediaexpo.cz
\(\sigma\)-algebra (sigma-algebra, též \(\sigma\)-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků.
Prefix \(\sigma\) v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.
Obsah |
Formální definice
Systém \(\mathcal{A} \) podmnožin množiny \(\mathcal{\Omega}\) nazveme \(\sigma\)-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.
- \(\emptyset\in\mathcal{A}\)
- jestliže \((\forall n \in \mathbb{N}) (M_{n} \in \mathcal{A})\), pak \(\bigcup_{n=1}^{\infty} M_{n} \in \mathcal{A}\)
- jestliže \(M \in \mathcal{A}\), pak \(\Omega \setminus M \in \mathcal{A}\)
Další vlastnosti
- \(\sigma\)-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: \(\left(\bigcup_{M \in \mathcal{A}} M\right) \in \mathcal{A}\); dostaneme dosazením prázdné množiny za \(M\) v poslední části definice
- \(\sigma\)-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže \((\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R})\), pak \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}\)
Použití
Koncept \(\sigma\)-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je \(\sigma\)-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině \(\Omega\) hodnotu 1.
Měřitelná množina
V teorii míry se dvojice \((\Omega,\mathcal{A}) \), kde \(\Omega\) je libovolná množina a \(\mathcal{A}\) je \(\sigma\)-algebra na \(\Omega\) nazývá měřitelný prostor a množiny \(\mathcal{S} \in \mathcal{A}\) nazýváme měřitelné množiny.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |