Tečna

Z Multimediaexpo.cz

Tečna funkce.
Tečna kružnice.

Tečna je přímka, která má s křivkou společný jeden bod dotyku. Na rozdíl od průsečíku leží všechny okolní body křivky ve stejné polorovině určené přímkou. Pokud je křivka grafem nějaké funkce, pak první derivace funkce je směrnicí tečny. Nejznámější křivkou je kružnice, pro kterou platí: každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny ke kružnici. Protože každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici.

Tečný vektor

Tečna křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, která prochází bodem <math>\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]</math> dané křivky, tedy bodem, v němž <math>t=t_0</math>, má směr určený vektorem

<math>{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0 = \left[{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0, {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0\right]</math>.

Tento vektor se nazývá tečným vektorem. Bod <math>\mathbf{r}_0</math> je tzv. dotykový (tečný) bod. Jednotkovým tečným vektorem <math>\mathbf{t}</math> se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečny

<math>\mathbf{t} = \frac{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \left( \frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}, \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+ {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}\right)</math>

Pokud je parametrem křivky oblouk <math>s</math>, pak platí

<math>\mathbf{t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}</math>

Rovnice tečny

Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru <math>\mathbf{t}</math> představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky. Rovnici tečny ke křivce <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math> v bodě <math>\mathbf{r}_0</math> lze zapsat jako

<math>\frac{X-x_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Y-y_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0} = \frac{Z-z_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0}</math>

nebo ve vektorovém tvaru

<math>\mathbf{R} = \mathbf{r}_0 + u{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)}_0</math>,

kde <math>\mathbf{r}_0=[x_0,y_0,z_0]</math> je bod dotyku tečny, <math>\mathbf{R}=[X,Y,Z]</math> jsou body tečné přímky, <math>t</math> je parametr křivky a <math>u</math> je parametr tečny.

Související články


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Te%C4%8Dna“