Eukleidovo lemma

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Eukleidovo lemma''' je [[Lemma (matematika)|lemma]] v [[aritmetika|aritmetice]] a v [[Teorie čísel|teorii čísel]], které říká, že pokud je nějaké [[prvočíslo]] [[dělitelnost|dělitelem]] [[součin]]u [[celé číslo|celých čísel]], pak dělí i nějaký z [[činitel]]ů. Toto tvrzení se poprvé objevuje již v [[Eukleidovy Základy|Eukleidových Základech]] (kniha VII, 30. postulát<ref>{{Citace elektronické monografie | titul = Eukleidovy základy, VII. kniha, 30. postulát | url = http://data.perseus.org/citations/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.perseus-grc1:7.prop.30 | datum vydání = | datum přístupu = 2013-1-29 | jazyk = starořecky, anglicky }}</ref>) a používá se například v důkaze [[Základní věta aritmetiky|Základní věty aritmetiky]]. == Znění == Lemma lze vyslovit v několika podobách. Nechť jsou <big>\(a\)</big> a <big>\(b\)</big> celá čísla a <big>\(p\)</big> je prvočíslo. Následující tvrzení jsou pak ekvivalentní: * pokud <big>\(p\)</big> dělí <big>\(ab\)</big>, tak <big>\(p\)</big> dělí <big>\(a\)</big> nebo <big>\(b\)</big> * pokud <big>\(p\)</big> dělí <big>\(ab\)</big> a <big>\(p\)</big> nedělí <big>\(a\)</big>, pak <big>\(p\)</big> dělí <big>\(b\)</big> * pokud <big>\(p\)</big> nedělí <big>\(a\)</big> ani <big>\(b\)</big>, pak nedělí ani <big>\(ab\)</big> == Důkaz == Jednoduchý důkaz Eukleidova lemmatu je možný pomocí [[Bézoutova rovnost|Bézoutovy rovnosti]]. Předpokládejme, že <big>\(p\)</big> dělí <big>\(ab\)</big> a nedělí <big>\(a\)</big>. Bézoutova rovnost nám pro libovolná dvě [[nesoudělná čísla]], tedy například i pro prvočíslo <big>\(p\)</big> a jím nedělitelné číslo <big>\(a\)</big>, zaručuje existenci <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> takových, že: :<big>\(px+ay=1\)</big> Vynásobíme-li tuto rovnost číslem <big>\(b\)</big>, máme :<big>\(bpx+bay=b\)</big> Prvočíslo <big>\(p\)</big> zjevně dělí první sčítanec i druhý sčítanec (<big>\(ba = ab\)</big>, <big>\(p\)</big> dělí <big>\(ab\)</big>), proto musí dělit i jejich součet, jímž je číslo <big>\(b\)</big>. == Varianty == Eukleidovo lemma neplatí pouze v celých číslech, ale platí také v jiných [[algebraická struktura|algebraických strukturách]], v kterých funguje [[Eukleidův algoritmus]] (jenž konstruktivně zaručuje Bézoutovu rovnost), tedy v [[Eukleidovský obor|Eukleidovských oborech]]. Existence Eukleidova algoritmu ovšem není nutnou podmínkou, Eukleidovo lemma platí i v [[obor hlavních ideálů|oborech hlavních ideálů]] (v kterých také pro libovolné nesoudělné prvky existuje Bézoutova rovnost, nicméně Eukleidův algoritmus v nich fungovat nemusí). == Reference == <references/> {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Teorie čísel]] [[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]

Návrat na stránku „Eukleidovo lemma“.