Ideál (teorie okruhů)

'''''Ideál''''' je [[matematika|matematický]] pojem z oblasti [[algebra|algebry]] označující podmnožinu nějakého [[okruh (algebra)|okruhu]] s jistými „dobrými“ vlastnostmi.
* Tak jako [[Normální podgrupa|normální podgrupy]] jsou speciálními případy [[Podgrupa|podgrup]], jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného [[Okruh (algebra)|okruhu]]. 

== Definice ==
Množina <big>\(\emptyset \neq I \subseteq R\)</big>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
* pro každé <big>\(a,b \in I\)</big> je také <big>\(a-b \in I\)</big>
* pro každé <big>\(a \in I\)</big> a každé <big>\(r \in R\)</big> je také <big>\(r\cdot a \in I\)</big> resp. <big>\(a\cdot r \in I\)</big>
Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.


Nechť (''R'', +, •) je okruh, ''M'' je libovolná podmnožina množiny ''R''. Potom průnik všech ideálů v ''R'', které obsahují množinu ''M'', je ideál v ''R'', který se nazývá '''ideálem generovaným množinou''' a značí se [''M'']. Množina ''M'' se nazývá '''systém generátorů''' ideálu [''M''] a její prvky '''generátory''' tohoto ideálu. 

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál ''R''. 

== Příklady ideálů ==
* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.
* Každá podmnožina tvaru <big>\((a)=\{a\cdot r;r\in R\}\)</big> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
* V okruhu [[celé číslo|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <big>\(a \in I\)</big> a každé <big>\(r \in R\)</big> je také <big>\(r\cdot a \in I\)</big> resp. <big>\(a\cdot r \in I\)</big>. Stačí volit třeba <big>\( a = 3, r = { \frac{1}{2}} \)</big>, pak <big>\(3 \in Z\)</big> a <big>\( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z \)</big>

== Operace s ideály ==
* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I\cap J\)</big>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}\)</big>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}\)</big>

== Vlastnosti ==
* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <big>\(I \neq R\)</big> a pro každý ideál ''J'', že <big>\(I\subseteq J\)</big>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]]''', jestliže pro každé <big>\(a,b \in R\)</big> takové, že <big>\(a\cdot b \in I\)</big>, je buďto <big>\(a \in I\)</big> nebo <big>\(b \in I\)</big>.
* Jsou-li  <big>\(a_1, a_2, \)</big> … , <big>\(a_k\)</big> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <big>\((\forall r_1, r_2, \)</big>… , <big>\( r_k \in R)\)</big> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + \)</big>… <big>\( + a_kr_k \in I\)</big>.   


'''Příklad:'''

V okruhu celých čísel '''Z''' máme určit ideál ''I'' = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ ''I'' a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ ''I'' . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje ''I'' všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina ''I'' okruhu '''R''' je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v '''Z''', je ''I'' = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}. 

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál ''I'' z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. ''I'' = [2], a též například ''I'' = [6, 8, -10].


Platí věta: ''Každý maximální ideál je prvoideál.'' Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však ''R'' je číselný okruh (tj. podokruh okruhu [[komplexní číslo|komplexních]] algebraických celých čísel), je každý prvoideál v ''R'' maximálním ideálem.

* Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět [[okruh (algebra)|okruh]]. 
* Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu [[obor integrity]]. 
* Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne [[těleso (algebra)|těleso]].

== Věta ==
Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <big>\( M = \{a_1, a_2, \)</big>… <big>\( , a_k \sube R\}\)</big>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <big>\((\forall r_1, r_2, \)</big>… , <big>\( r_k \in R)\)</big> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + \)</big>… <big>\( + a_kr_k \in I\)</big>, tj. [''M''] = ''I'', kde <big>\(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + \)</big>… <big>\( + a_kr_k; r_1, r_2, \)</big>… <big>\( , r_k\in R\}\)</big>.


'''Příklad užití této věty'''

V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <big>\(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) \)</big> kde <big>\(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]\)</big>.

Tedy  [''x'', 2] je množina všech polynomů <big>\(a_0 + a_1x + \)</big>… <big>\( + a_x x^n \in Z[x]\)</big>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v  '''Z'''[''x''].

== Literatura ==
'''BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ'''. ''Algebra a teoretická aritmetika''. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

== Související články ==
* [[Ideál (teorie uspořádání)]]
* [[Normální podgrupa]]


{{Článek z Wikipedie}}	  
[[Kategorie:Algebraické struktury]]