Youngova nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle Williama Henry Younga (1863−1942), dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li \(a, b \geq 0\), \(p, q \in (1, \infty)\), \(p q = p+q\), pak

\(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\) .

Důkaz

Pro \(a = 0\) nebo \(b = 0\) je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu dostáváme, že

\(\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)\),

což bylo dokázáno.

Externí odkazy

MathWorld.com – Young's Inequality (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 V [[Matematika|matematice]], '''Youngova nerovnost''', pojmenovaná podle Williama Henry Younga (1863−1942), dává do vztahu [[součin]] dvou nezáporných čísel a [[Sčítání|součet]] jejich [[Umocňování|mocnin]]:
-Jsou-li <math>a, b \geq 0</math>, <math>p, q \in (1, \infty)</math>, <math>p q = p+q</math>, pak
+Jsou-li <big>\(a, b \geq 0\)</big>, <big>\(p, q \in (1, \infty)\)</big>, <big>\(p q = p+q\)</big>, pak
-:<math>ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math> .
+:<big>\(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\)</big> .
 == Důkaz ==
-Pro <math>a = 0</math> nebo <math>b = 0</math> je důkaz triviální. Jinak z [[Konkávní funkce|konkávnosti]] [[Logaritmus|logaritmu]] dostáváme, že
+Pro <big>\(a = 0\)</big> nebo <big>\(b = 0\)</big> je důkaz triviální. Jinak z [[Konkávní funkce|konkávnosti]] [[Logaritmus|logaritmu]] dostáváme, že
-:<math>\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)</math>,
+:<big>\(\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)\)</big>,
 což bylo dokázáno.