Brunova věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Brunova věta|700}}
+
'''Brunova věta''' je tvrzení z oboru [[teorie čísel|číselné teorie]], které poprvé dokázal [[Viggo Brun]] v roce 1919 pomocí takzvaného [[Brunovo síto|Brunova síta]]. Podle této věty platí, že číselná [[řada (matematika)|řada]], jejímiž prvky jsou součty [[převrácená hodnota|převrácených hodnot]] [[prvočíselná dvojčata|prvočíselných dvojčat]], je [[konvergence řad|konvergentní]] a konverguje k číslu známému jako '''Brunova konstanta''' (obvykle značené ''B₂'').
 +
Jinak řečeno, platí:
 +
:<math> \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)}  = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) +  \cdots = B_2</math>
 +
 +
Zajímavostí je, že není známo, zda je prvočíselných dvojčat konečný počet, tedy není ani známo, zda má řada výše konečný nebo nekonečný počet sčítanců.
 +
 +
== Hodnota Brunovy konstanty ==
 +
Podle [[Richard Crandall|Richarda Crandalla]] a [[Carl Pomerance|Carla Pomerance]] je dokázáno, že hodnota Brunovy konstanty leží v otevřeném [[interval (matematika)|intervalu]] (1,83;2,347).<ref>{{Citace monografie
 +
| příjmení = Crandall
 +
| jméno = Richard
 +
| příjmení2 = Pomerance
 +
| jméno2 = Carl
 +
| rok = 2005
 +
| titul = Prime Numbers: A Computational Perspective
 +
| vydavatel = Springer
 +
| místo =
 +
| stránky =
 +
| poznámka =
 +
| isbn = 0387252827
 +
}}</ref> Dominic Klyve horní hranici intervalu dále zpřesnil na 2,1754 za předpokladu platnosti [[zobecněná Riemannova hypotéza|zobecněné Riemannovy hypotézy]].<ref>{{Citace elektronické monografie
 +
| příjmení = Klyve
 +
| jméno = Dominic
 +
| odkaz na autora =
 +
| titul = Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant
 +
| url = http://gradworks.umi.com/33/34/3334102.html
 +
| datum vydání =
 +
| datum aktualizace =
 +
| datum přístupu = 2011-11-18
 +
| vydavatel =
 +
| místo =
 +
| jazyk =
 +
}}</ref>
 +
 +
[[Thomas R. Nicely]] odhadl hodnotu Brunovy konstanty na 1,902160578 na základě výpočtu prvočíselných dvojčat do hodnoty <math>10^{14}</math>.<ref>{{Citace elektronické monografie
 +
| příjmení = Nicely
 +
| jméno = Thomas R.
 +
| odkaz na autora = Thomas R. Nicely
 +
| titul = Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant
 +
| url = http://www.trnicely.net/twins/twins2.html
 +
| datum vydání = 2010-01-18
 +
| datum přístupu = 2011-11-18
 +
| jazyk =
 +
}}</ref>
 +
 +
Desetinný rozvoj Brunovy konstanty je v [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|databázi celočíselných posloupností OEIS]] zařazen pod kódem A065421.<ref>[[oeis:A065421]]</ref>
 +
 +
== Zobecnění ==
 +
Český matematik [[Karel Koutský]] dokázal v roce 1933<ref>{{Citace periodika
 +
| příjmení = Koutský
 +
| jméno = Karel
 +
| odkaz na autora = Karel Koutský
 +
| titul = Zobecnění Brunovy věty o dvojicích prvočísel
 +
| periodikum = Rozpravy II. tř. Čes. Akademie
 +
| odkaz na periodikum =
 +
| rok = 1933
 +
| měsíc =
 +
| ročník =
 +
| číslo = 42
 +
| strany =
 +
| url =
 +
| issn =
 +
}}</ref><ref>{{Citace periodika
 +
| příjmení = Koutský
 +
| jméno = Karel
 +
| odkaz na autora = Karel Koutský
 +
| titul = Généralisation du Théorème de M. Brun sur les couples des nombres premiers
 +
| periodikum = Bulletin internat. de l'Academie des Sciences Boheme
 +
| odkaz na periodikum =
 +
| rok = 1933
 +
| issn =
 +
}}</ref>, že konvergence platí i pro obdobné řady, kde bereme dvojice prvočísel vzdálené o jinou pevně danou konstantu.<ref>{{Citace periodika
 +
| příjmení = Sekanina
 +
| jméno = Milan
 +
| odkaz na autora = Milan Sekanina
 +
| titul = Život a dílo prof. Dr. Karla Koutského
 +
| periodikum = Časopis pro pěstování matematiky
 +
| odkaz na periodikum =
 +
| rok = 1965
 +
| ročník = 90
 +
| číslo = 2
 +
| strany = 250-256
 +
| url = http://dml.cz/dmlcz/108269
 +
| issn =
 +
}}</ref>
 +
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://planetmath.org/encyclopedia/BrunsConstant.html Brunova konstanta v encyklopedii PlanetMath (anglicky)]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Prvočísla]]
[[Kategorie:Prvočísla]]
[[Kategorie:Matematické konstanty]]
[[Kategorie:Matematické konstanty]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]

Verze z 19. 2. 2014, 10:10

Brunova věta je tvrzení z oboru číselné teorie, které poprvé dokázal Viggo Brun v roce 1919 pomocí takzvaného Brunova síta. Podle této věty platí, že číselná řada, jejímiž prvky jsou součty převrácených hodnot prvočíselných dvojčat, je konvergentní a konverguje k číslu známému jako Brunova konstanta (obvykle značené B₂).

Jinak řečeno, platí:

<math> \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}Šablona:P + 2} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}Šablona:11 + \frac{1}Šablona:13} \right) + \cdots = B_2</math>

Zajímavostí je, že není známo, zda je prvočíselných dvojčat konečný počet, tedy není ani známo, zda má řada výše konečný nebo nekonečný počet sčítanců.

Obsah

Hodnota Brunovy konstanty

Podle Richarda Crandalla a Carla Pomerance je dokázáno, že hodnota Brunovy konstanty leží v otevřeném intervalu (1,83;2,347).[1] Dominic Klyve horní hranici intervalu dále zpřesnil na 2,1754 za předpokladu platnosti zobecněné Riemannovy hypotézy.[2]

Thomas R. Nicely odhadl hodnotu Brunovy konstanty na 1,902160578 na základě výpočtu prvočíselných dvojčat do hodnoty <math>10^{14}</math>.[3]

Desetinný rozvoj Brunovy konstanty je v databázi celočíselných posloupností OEIS zařazen pod kódem A065421.[4]

Zobecnění

Český matematik Karel Koutský dokázal v roce 1933[5][6], že konvergence platí i pro obdobné řady, kde bereme dvojice prvočísel vzdálené o jinou pevně danou konstantu.[7]

Reference

  1. ↑ CRANDALL, Richard; POMERANCE, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. [s.l.] : Springer, 2005. ISBN 0387252827.  
  2. ↑ KLYVE, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant [online]. [cit. 2011-11-18]. Dostupné online.  
  3. ↑ NICELY, Thomas R.. Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant [online]. 2010-01-18, [cit. 2011-11-18]. Dostupné online.  
  4. ↑ oeis:A065421
  5. ↑ KOUTSKÝ, Karel. Zobecnění Brunovy věty o dvojicích prvočísel. Rozpravy II. tř. Čes. Akademie, 1933, čís. 42.  
  6. ↑ KOUTSKÝ, Karel. Généralisation du Théorème de M. Brun sur les couples des nombres premiers. Bulletin internat. de l'Academie des Sciences Boheme, 1933.  
  7. ↑ SEKANINA, Milan. Život a dílo prof. Dr. Karla Koutského. Časopis pro pěstování matematiky, 1965, roč. 90, čís. 2, s. 250-256. Dostupné online.  

Externí odkazy


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Brunova_v%C4%9Bta“