Hölderova nerovnost
Z Multimediaexpo.cz
Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Obsah |
Znění
Na prostoru s mírou \((X, \Sigma, \mu)\) mějme μ-měřitelné funkce \(f, g\) na \(X\). Dále nechť existují čísla \(1 \le p, q \le \infty\), taková, že: \(1/p + 1/q = 1\). Pak platí:
- \(\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q\).
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že \(1 < p,q < \infty\) a \(1/p+1/q = 1\).
Aritmetická míra
V případě \(n\)-rozměrného Eukleidovského prostoru \(a_k, b_k \in \mathbb{C}^n\), s množinou \( X = \{1, ..., n\}\) a \(\mu\) aritmetickou mírou dostáváme:
- \(\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}\).
Rovnost nastává, právě když \(|b_k|=c|a_k|^{p-1}\).
Lp prostory
Pokud \(f \in L^p(X), g \in L^q(X)\), tak \(f \cdot g \in L^1(X)\) a navíc:
- \(\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}\)
Pro \(p = q = 2\) pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto:
Pro všechna reálná čísla r, s a \(x\in<0,1>\) platí
\(xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}\).
Rovnost nastává, právě když r=s nebo \(x\in\{0,1\}\). Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |