Integrální rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Integrální rovnice je v matematice taková rovnice, v níž se neznámá funkce nachází pod integrálem. Integrální rovnice úzce souvisejí s diferenciálními rovnicemi a některé problémy mohou být formulovány oběma způsoby (např. Maxwellovy rovnice).

Za zakladatele teorie integrálních rovnic se považuje Erik Ivar Fredholm, později k ní významně přispěl italský matematik Vito Volterra (1860–1940).

Klasifikace integrálních rovnic

Integrální rovnice lze rozdělit na dvě základní třídy: Fredholmovy integrální rovnice a Volterrovy integrální rovnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí proměnné x.

Další dělení je na rovnice prvního a druhého druhu. V rovnicích prvního druhu se neznámá funkce nachází jen pod integrálem, v rovnicích druhého druhu se nachází pod integrálem i mimo integrál.

Fredholmovy rovnice prvního druhu

Nejzákladnějším typem integrálních rovnic jsou Fredholmovy rovnice prvního druhu. Jsou to integrální rovnice tvaru

\( f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt, </math>

kde \(\varphi</math> je neznámá funkce, f je známá funkce a K je další funkce o dvou proměnných, často nazývaná také jaderná funkce. Rozsah integrace má konstantní hranice.

Fredholmovy rovnice druhého druhu

Fredholmovy rovnice druhého druhu jsou rovnice s konstantním rozsahem integrace a s neznámou funkcí nacházející se jak v integrandu, tak i mimo něj. Jsou to integrální rovnice tvaru

\( \varphi(x) = f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. </math>

Číslo \(\lambda</math> je neznámý parametr, který hraje stejnou roli jako vlastní číslo v lineární algebře. Význam ostatních symbolů je stejný, jako u rovnic prvního druhu.

Volterrovy rovnice prvního druhu

Volterrovy rovnice prvního druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic prvního druhu, ve kterém je jedna z hranic integračního rozsahu funkcí proměnné x. Volterrovy rovnice prvního druhu mají tvar:

\( f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.</math>

Volterrovy rovnice druhého druhu

Volterrovy rovnice druhého druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic druhého druhu. Jedna z hranic integračního rozsahu je funkcí proměnné x. Rovnice tohoto typu mají tvar:

\( \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. </math>

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 11: / Řádka 11: @@
 Nejzákladnějším typem integrálních rovnic jsou Fredholmovy rovnice prvního druhu. Jsou to integrální rovnice tvaru
-:<math> f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt, </math>
+:<big>\( f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt, </math>
-kde <math>\varphi</math> je neznámá funkce, ''f'' je známá funkce a ''K'' je další funkce o dvou proměnných, často nazývaná také jaderná funkce. Rozsah integrace má konstantní hranice.
+kde <big>\(\varphi</math> je neznámá funkce, ''f'' je známá funkce a ''K'' je další funkce o dvou proměnných, často nazývaná také jaderná funkce. Rozsah integrace má konstantní hranice.
 === Fredholmovy rovnice druhého druhu ===
 Fredholmovy rovnice druhého druhu jsou rovnice s konstantním rozsahem integrace a s neznámou funkcí nacházející se jak v integrandu, tak i mimo něj. Jsou to integrální rovnice tvaru
-:<math> \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. </math>
+:<big>\( \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. </math>
-Číslo <math>\lambda</math> je neznámý parametr, který hraje stejnou roli jako [[vlastní číslo]] v [[Lineární algebra|lineární algebře]]. Význam ostatních symbolů je stejný, jako u rovnic prvního druhu.
+Číslo <big>\(\lambda</math> je neznámý parametr, který hraje stejnou roli jako [[vlastní číslo]] v [[Lineární algebra|lineární algebře]]. Význam ostatních symbolů je stejný, jako u rovnic prvního druhu.
 === Volterrovy rovnice prvního druhu ===
 Volterrovy rovnice prvního druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic prvního druhu, ve kterém je jedna z hranic integračního rozsahu funkcí proměnné ''x''. Volterrovy rovnice prvního druhu mají tvar:
-:<math> f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.</math>
+:<big>\( f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.</math>
 === Volterrovy rovnice druhého druhu ===
 Volterrovy rovnice druhého druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic druhého druhu. Jedna z hranic integračního rozsahu je funkcí proměnné ''x''. Rovnice tohoto typu mají tvar:
-:<math> \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. </math>
+:<big>\( \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. </math>
 == Externí odkazy ==