Paprsková rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 8. 8. 2014, 08:56

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

<math>\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</math>,

kde <math>s</math> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

<math>n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</math>

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <math>\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</math> je vždy kolmá na <math>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

<math>\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|</math>.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku <math>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li <math>\nabla n =0</math>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

<math>n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</math>

Což lze přepsat pomocí úhlu <math>\alpha</math>, který paprsek svírá s osou y do tvaru

<math>n(y) \sin \alpha = konst.</math>

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

<math>n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</math>

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Paprsková rovnice|700}}
+'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je
+<math>\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</math>,
+kde <math>s</math> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
+Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
+<math>n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</math>
+Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <math>\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</math> je vždy kolmá na <math>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
+<math>\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|</math>.
+Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu,  ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
+Máme-li tedy zadán směr paprsku <math>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
+==Příklady==
+Speciálně je-li <math>\nabla n =0</math>, dostáváme nulovou křivost v  každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
+Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí
+<math>n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</math>
+Což lze přepsat pomocí úhlu <math>\alpha</math>, který paprsek svírá s osou y do tvaru
+<math>n(y) \sin \alpha = konst.</math>
+Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:
+<math>n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</math>
+== Externí odkazy ==
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Rovnice]]
 [[Kategorie:Optika]]