a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!
Per partes
Z Multimediaexpo.cz
Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:
- \((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime</math>
Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:
- \(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
- \(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x</math>
Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:
- \(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x</math>
Druhý vztah získáme pouhou záměnou \(u \leftrightarrow v</math>.
Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako
- \(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u</math>
Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
Příklady
- \(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C</math>, kde bylo použito \(u = x, v^\prime = \cos x</math>
- Pro nalezení \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x</math> položíme \(u = x^2, v^\prime = \sin x</math>, takže dostaneme \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x</math>. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme \(u = x, v^\prime = \cos x</math>, tzn. \(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x</math>. Dosazením pak získáme konečný výsledek \(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C</math>
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |