Youngova nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle Williama Henry Younga (1863−1942), dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li <math>a, b \geq 0</math>, <math>p, q \in (1, \infty)</math>, <math>p q = p+q</math>, pak

<math>ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math> .

Důkaz

Pro <math>a = 0</math> nebo <math>b = 0</math> je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu dostáváme, že

<math>\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b)</math>,

což bylo dokázáno.

Externí odkazy

• MathWorld.com – Young's Inequality (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii