The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Geometrický průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
'''Geometrický průměr''' ''n'' nezáporných čísel <big>\(x_1, x_2, \dots, x_n</math> je definován jako ''n''-tá [[odmocnina]] jejich součinu:
+
'''Geometrický průměr''' ''n'' nezáporných čísel <big>\(x_1, x_2, \dots, x_n\)</big> je definován jako ''n''-tá [[odmocnina]] jejich součinu:
-
<big>\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}</math>.
+
<big>\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}\)</big>.
Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.
Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.
Řádka 13: Řádka 13:
Geometrický průměr je lineárně [[homogenní funkce]] (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí
Geometrický průměr je lineárně [[homogenní funkce]] (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí
-
:<big>\( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .</math>
+
:<big>\( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .\)</big>
[[Logaritmus]] geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:
[[Logaritmus]] geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:
-
:<big>\(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i</math>
+
:<big>\(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\)</big>
To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako [[zobecněný f-průměr]] s logaritmickou transformací ''f(x)''&nbsp;= ln&nbsp;''x'':
To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako [[zobecněný f-průměr]] s logaritmickou transformací ''f(x)''&nbsp;= ln&nbsp;''x'':
-
:<big>\(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).</math>
+
:<big>\(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).\)</big>
== Související články ==
== Související články ==

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Geometrický průměr n nezáporných čísel \(x_1, x_2, \dots, x_n\) je definován jako n-tá odmocnina jejich součinu:

\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}\).

Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.

Příklad

Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. tempo růstu cen bylo postupně 20 %, 10 %, poté -15 % a +10 %, pak průměrný koeficient růstu je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,0544 ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Vlastnosti

Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než aritmetický průměr. Rovnost nastane jedině když jsou všechny průměrované hodnoty stejné – viz AG nerovnost. To mj. umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.

Geometrický průměr je lineárně homogenní funkce (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí

\( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .\)

Logaritmus geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:

\(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\)

To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný f-průměr s logaritmickou transformací f(x) = ln x:

\(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).\)

Související články


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Geometrick%C3%BD_pr%C5%AFm%C4%9Br“