Moivreova věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 22. 4. 2025, 09:30

Moivreova věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:

\((\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,\)

kde i je imaginární jednotka.

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.

Výraz \(\cos x + i\sin x\) se někdy zkracuje na \(\mathrm{cis}\ x\).

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zⁿ = 1.

Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Isaaca Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce e^ix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

\(z=A(\cos x+i\sin x),\,\)

pak všech jeho \( n \,\! \) odmocnin \( n \,\! \)-tého stupně lze zapsat jako

\(z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) ) : 0 \leq k \leq n-1 \}\)

Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n₀ + 1

\((\cos x+i\sin x)^{n_0+1}\,\)

\(= (\cos x+i\sin x)^{n_0}(\cos x+i\sin x)\,\)

\(= (\cos(n_0x)+i\sin(n_0x))(\cos x+i\sin x)\,\) (z indukčního předpokladu)

\(= \cos(n_0x)\cos x - \sin(n_0x)\sin x + i(\cos(n_0x)\sin x + \sin(n_0x)\cos x)\,\)

Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).

\(= \cos((n_0+1)x) + i\sin((n_0+1)x)\,\)

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n₀ + 1, jestliže platí pro n₀, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože \(\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i\cdot0 = 1\) a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

\((\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,\)

\(=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos (mx) + i\sin (mx))}\,\) (shora)

\(=\cos(mx) - i\sin(mx)\,\)

\(=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,\)

Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Tedy Q.E.D.

Poznámka – Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější. Pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)^w.

Související články

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Moivreova věta|700}}
+'''Moivreova věta''' říká, že pro libovolné [[komplexní číslo]] (a speciálně tedy i reálné číslo) ''x'' a libovolné [[celé číslo]] ''n'' platí:
+:<big>\((\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,\)</big>
+kde ''i'' je [[imaginární jednotka]].
+Tento vztah je důležitý, neboť propojuje [[komplexní číslo|komplexní čísla]] s&nbsp;[[Goniometrická funkce|goniometrií]].
+Výraz <big>\(\cos x + i\sin x\)</big> se někdy zkracuje na <big>\(\mathrm{cis}\ x\)</big>.
+Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(''nx'') a sin(''nx'') pomocí cos(''x'') a sin(''x'').
+Moivreovu větu lze také použít k vyjádření ''n''-té [[odmocnina|odmocniny]] [[1 (číslo)|jedničky]], tedy k nalezení takového [[komplexní číslo|komplexního čísla]] ''z'', pro které platí ''z<sup>n</sup>'' = 1.
+Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Isaaca Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v&nbsp;roce 1676.
+Tato věta může být odvozena též z [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]] ''e''<sup>''ix''</sup> = cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' , který je ovšem [[historie|historicky]] mladší.
+== Užití věty ==
+Větu lze použít k výpočtu n-té [[odmocnina|odmocniny]] z komplexního čísla.
+Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru
+<big>\(z=A(\cos x+i\sin x),\,\)</big>
+pak všech jeho <big>\( n \,\! \)</big> odmocnin <big>\( n \,\! \)</big>-tého stupně lze zapsat jako
+:<big>\(z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) ) : 0 \leq k \leq n-1 \}\)</big>
+== Důkaz ==
+Uvažujme tři případy:
+'''Pro ''n'' > 0''' použijeme [[matematická indukce|indukci]]. Pro ''n'' = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok ''n'' → ''n''<sub>0</sub> + 1
+:<big>\((\cos x+i\sin x)^{n_0+1}\,\)</big>
+:<big>\(= (\cos x+i\sin x)^{n_0}(\cos x+i\sin x)\,\)</big>
+:<big>\(= (\cos(n_0x)+i\sin(n_0x))(\cos x+i\sin x)\,\)</big> (z indukčního předpokladu)
+:<big>\(= \cos(n_0x)\cos x - \sin(n_0x)\sin x + i(\cos(n_0x)\sin x + \sin(n_0x)\cos x)\,\)</big>
+Zde použijeme goniometrické [[Goniometrická funkce|součtové vzorce]]: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).
+:<big>\(= \cos((n_0+1)x) + i\sin((n_0+1)x)\,\)</big>
+Odvodili jsme, že rovnost platí pro ''n'' = ''n''<sub>0</sub> + 1, jestliže platí pro ''n''<sub>0</sub>, a tedy indukcí platí pro všechna ''n'' [[přirozené číslo|přirozená]].
+'''Pro ''n'' = 0''' rovnost platí, protože <big>\(\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i\cdot0 = 1\)</big> a nultá mocnina z&nbsp;komplexního čísla je též 1.
+'''Pro ''n'' < 0''' vezměme přirozené ''m'' takové, aby ''n'' = −''m''. Potom
+:<big>\((\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,\)</big>
+:<big>\(=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos (mx) + i\sin (mx))}\,\)</big> (shora)
+:<big>\(=\cos(mx) - i\sin(mx)\,\)</big>
+:<big>\(=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,\)</big>
+Tvrzení tedy platí pro všechna ''n'' celá. Tedy '''[[Q.E.D.]]'''
+* '''Poznámka – Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější'''. Pokud by '''z''' a '''w''' byla [[komplexní číslo|čísla komplexní]], pak '''cos (wz) + i⋅sin (wz)''' je jednou z&nbsp;(více) možných úprav výrazu '''(cos z + i⋅sin z)<sup>''w''</sup>'''.
+== Související články ==
+* [[Komplexní číslo]]
+* [[Komplexní rovina]]
+* [[Goniometrické funkce]]
+* [[Eulerův vzorec]]
+* [[Eulerova věta (teorie čísel)]]
+== Externí odkazy ==
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Algebra]]
 [[Kategorie:Komplexní analýza]]