Substituční metoda (integrování)

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 27. 4. 2025, 10:24

Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci \(f(x)\) vyjádřit na intervalu \((a,b)\) ve tvaru \(f(x) = g(h(x))h^\prime(x)\), kde \(h^\prime(x)\) je spojitá v intervalu \((a,b)\) a \(g(z)\) je spojitá pro všechna \(z=h(x)\), pak pro \(x \in (a,b)\) platí

\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int g(h(x)) h^\prime(x) \mathrm{d}x = \int g(z) \mathrm{d}z = G(z) + C = G(h(x)) + C\), kde byla použita substituce \(z=h(x)\).

Jiným případem je substituce \(x=\phi(z)\), kde funkce \(\phi\) je monotónní pro všechna \(z\) z intervalu \((\alpha,\beta)\) a má na tomto intervalu spojitou derivaci \(\phi^\prime\). Potom platí

\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\phi(z)) \phi^\prime(z) \mathrm{d}z = H(z)+C\)

Výsledek získáme tak, že ze vztahu \(x=\phi(z)\) vyjádříme proměnnou \(z\) a dosadíme do \(H(z) + C\).

Substituce ve vícerozměrných integrálech

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast \(M\) v proměnných \(x_i\) pro \(i=1,2,...,n\), a uzavřenou n-rozměrnou oblast \(N\) v proměnných \(y_i\). Mezi oblastmi \(M\) a \(N\) nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení \(x_i = \phi_i(y_1,y_2,...,y_n)\),
přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu \(\frac{\partial \phi_i}{\partial y_j}\) pro všechna \(i, j\) a jakobián \(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\) je nenulový, tzn. \(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} \ne 0\). Pokud je na oblasti \(M\) definována spojitá ohraničená funkce \(f(x_1,x_2,...,x_n)\), pak

\({\iint\cdots\int}_M f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots\mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_N f(\phi_1(y_1,y_2,...,y_n),\phi_2(y_1,y_2,...,y_n),...,\phi_n(y_1,y_2,...,y_n)) \left|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right| \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots\mathrm{d}y_n\)

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí \(M\) o souřadnicích \(x, y\) a oblastí \(N\) o souřadnicích \(u, v\) existuje vzájemně jednoznačné zobrazení \(x=x(u,v), y=y(u,v)\), má jakobián tvar

\(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\)

Je-li \(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} \ne 0\), pak dostaneme pro funkci \(f(x,y)\)

\(\iint_M f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_N f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\)

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí \(M\) o souřadnicích \(x, y, z\) a oblastí \(N\) o souřadnicích \(u, v, w\) existuje vzájemně jednoznačné zobrazení \(x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)\), má jakobián tvar

\(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}\)

Je-li \(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} \ne 0\), pak pro funkci \(f(x,y,z)\) dostaneme výraz

\(\iiint_M f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_N f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\)

Související články

• Substituce

Externí odkazy

• Encyklopedické heslo Substituce v Ottově slovníku naučném