Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). [1]

Obsah

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

  1. \(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = 2^{x}\):
    \(a^{2} + a - 6 = 0\)
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)

    \(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

    \(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(2 = 2^x\)
    2. \(-3 = 2^x\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(2 = 2^x\)
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2\) se dá napsat jako \(2^1\):
        \(2^1 = 2^x\)
      2. \(1 = x\)
      3. Výsledek je:
        \(x = 1\)
        Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
    2. \(-3 = 2^x\)
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

  1. \((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = \sin x\):
    \(a^{2} + 2a - 3 = 0\)
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\)

    \(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

    \(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(\sin x = 1\)
    2. \(\sin x = -3\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(\sin x = 1\)
      \(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi\)
    2. \(\sin x = -3\)
      \(x = \phi\)
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

Reference

  1. Substituce - definice