Ordinální aritmetika

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 3. 3. 2019, 15:22

Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.

Ordinální čísla a jejich vlastnosti

Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.

Definice ordinálního součtu a součinu

Jsou-li <math> \alpha \,\!</math> a <math> \beta \,\!</math> dvě ordinální čísla, pak:

• jako <math> \alpha + \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> ( \{ 0 \} \times \alpha ) \cup ( \{ 1 \} \times \beta ) </math> v lexikografickém uspořádání
• jako <math> \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> \beta \times \alpha </math> v lexikografickém uspořádání.

Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <math> \isin </math> izomorfní s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

Příklady součtu dvou ordinálních čísel

Součet 3 + 2:
<math> ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) = </math>
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = </math>
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = </math>
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!</math>
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet <math> 1 + \omega_0 \,\!</math> (jako <math> \omega_0 \,\!</math> se značí množina všech přirozených čísel)
<math> ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = </math>
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = </math>
<math> \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math>
<math> \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math>
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je <math> \omega_0 \,\!</math>, takže <math> 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat <math> \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění:
<math> 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!</math>

Příklady součinu dvou ordinálních čísel

Součin 3.2:
<math> 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = </math>
<math> \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!</math>
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin <math> 2.\omega_0 \,\!</math>
: <math> \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\! </math>
<math> \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! </math>
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je <math> \omega_0 \,\!</math>.

Obrátím-li poslední příklad na <math> \omega_0 . 2 \,\!</math>, dostávám množinu
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!</math>,
jejímž typem již není <math> \omega_0 \,\!</math>, ale větší ordinální číslo <math> \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!</math>

Rozhodně opět <math> 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! </math>.

Vlastnosti ordinálního součtu a součinu

Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:
<math> ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math>
Opačně to ale neplatí, protože například: <math> (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math> - viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):

• <math> \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!</math>
• <math> \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!</math>
• <math> \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!</math>
• <math> \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!</math>
• <math> \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!</math>

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály <math> \alpha, \beta, \beta > 0 \,\!</math> existují <math> \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\!</math> takové, že
<math> \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!</math>

Definice ordinální mocniny

Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:

1. <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>
2. <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
3. pro limitní ordinál <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math>
   sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <math> \in </math>

Vlastnosti ordinální mocniny

Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

• <math> 0^0 = 1 \,\!</math>
• <math> 0^{\alpha} = 0 \,\!</math> pro <math> \alpha > 0 \,\!</math>
• <math> 1^{\alpha} = 1 \,\!</math>
• <math> \alpha^1 = \alpha \,\!</math>
• <math> \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!</math>

A především:

• <math> \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!</math>
• <math> (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!</math>

Mocninný rozvoj ordinálního čísla

Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ <math> \omega_0 \,\!</math> - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li <math> \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a <math> \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla <math> k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály <math> \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí:
<math> \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!</math>

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla <math>\,\alpha</math> v Cantorově normálním tvaru platí <math>\alpha\geq\beta_0</math>, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když <math>\,\alpha=\omega^\alpha</math>. Takových <math>\,\alpha</math> existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá <math>\varepsilon_0</math>. Pro <math>\,\alpha<\varepsilon_0</math> tedy je <math>\,\alpha>\beta_0</math>, což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.

Související články

• Ordinální číslo
• Kardinální číslo
• Kardinální aritmetika
• Goodsteinova posloupnost
• Transfinitní indukce
• Transfinitní rekurze