Sféra (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována \(S^n:=\{ x\in R^{n+1}, \sum_i x_i^2=r^2\}\)

V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru \(R^n\). Pro \(n=\infty\) se také definuje sféra \(S^\infty\), která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je \(4\pi r^2\), obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r \({2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.\)
Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný z sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen).
Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou \(S^0, S^1, S^3, S^7\) (paralelizovatelnost \(S^7\) má souvislost s oktoniony).
Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole právě když n je liché.
2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy

Homotopie sféry nejsou obecně známy.
Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 == Definice ==
-* V&nbsp;[[eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] a v&nbsp;klasické [[matematická analýza|analýze]] je n-rozměrná sféra poloměru ''r'' definována <big>\(S^n:=\{ x\in R^{n+1},  \sum_i x_i^2=r^2\}</math>
+* V&nbsp;[[eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] a v&nbsp;klasické [[matematická analýza|analýze]] je n-rozměrná sféra poloměru ''r'' definována <big>\(S^n:=\{ x\in R^{n+1},  \sum_i x_i^2=r^2\}\)</big>
-* V&nbsp;[[topologie|topologii]] je n-rozměrná sféra [[topologický prostor]] [[homeomorfismus|homeomorfní]] výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru <big>\(R^n</math>. Pro <big>\(n=\infty</math> se také definuje sféra <big>\(S^\infty</math>, která je v&nbsp;jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.
+* V&nbsp;[[topologie|topologii]] je n-rozměrná sféra [[topologický prostor]] [[homeomorfismus|homeomorfní]] výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru <big>\(R^n\)</big>. Pro <big>\(n=\infty\)</big> se také definuje sféra <big>\(S^\infty\)</big>, která je v&nbsp;jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.
 == Vlastnosti ==
 * n-sféra je [[Kompaktní množina|kompaktní]], [[Souvislá množina|souvislá]] pro dimenzi ''n'' > 0 a pro ''n>1'' také [[jednoduše souvislá množina]].
-* Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je <big>\(4\pi r^2</math>, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru ''r'' <big>\({2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.</math>
+* Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je <big>\(4\pi r^2\)</big>, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru ''r'' <big>\({2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.\)</big>
 * [[Eulerova charakteristika]] n-sféry je 2 pro ''n'' sudé a 0 pro ''n'' liché.
 * [[Homologie (matematika)|Homologie]] a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a ''n''.
@@ Řádka 16: / Řádka 16: @@
 * Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře ([[Poincarého věta|Poincarého hypotéza]], jediný z&nbsp;[[problémy tisíciletí|sedmi problémů tisíciletí]], který byl zatím vyřešen).
 * Jediné sféry, které mají strukturu [[Lieova grupa|Lieovy grupy]] jsou n-sféry pro ''n'' = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových [[reálné číslo|reálných čísel]], [[komplexní číslo|komplexních čísel]] a [[kvaternion]]ů).
-* Jediné sféry, které jsou ''úplně paralelizovatelné'', jsou <big>\(S^0, S^1, S^3, S^7</math> (paralelizovatelnost <big>\(S^7</math> má souvislost s [[oktonion]]y).
+* Jediné sféry, které jsou ''úplně paralelizovatelné'', jsou <big>\(S^0, S^1, S^3, S^7\)</big> (paralelizovatelnost <big>\(S^7\)</big> má souvislost s [[oktonion]]y).
 * Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové [[vektorové pole]] právě když ''n'' je liché.
 * 2-sféra může mít strukturu [[komplexní varieta|komplexní variety]]