Teorie grup

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Je podoborem algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii.

Obsah

1 Historie
2 Grupa
3 Důležité věty teorie grup
- 3.1 Související články
4 Literatura

Historie

Počátky teorie grup sahají do posledních let 18. a počátku 19. století, kdy se začala vyvíjet jako důsledek rozvoje teorie algebraických rovnic, teorie čísel a geometrie. Prvními matematiky, kteří se zabývali touto oblastí byli Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel a Évariste Galois.

Moderní definici grupy podal roku 1882 – Walther von Dyck.

Grupa

Související informace můžete najít také v článku: Grupa

Grupa je základním pojmem teorie grup. Je definována jako množina \(\mathbb{G}\) spolu s binární operací \(\cdot\) splňující tři grupové axiomy:

Asociativita:	\(f \cdot (g \cdot h) = (f \cdot g) \cdot h\)
Existence neutrálního prvku:	\((\exists e) (\forall g) \quad g \cdot e = e \cdot g = g\)
Existence inverzních prvků:	\((\forall g) (\exists h) \quad g \cdot h = h \cdot g = e\)

Důležité věty teorie grup

Lagrangeova věta: Je-li G konečná grupa a H její podgrupa, pak řád H dělí řád G.
Cayleyho věta: Každá grupa G je izomorfní podgrupě grupy permutací na G (symetrické grupě).
Sylowovy věty: Popisují existenci a vlastnosti p-podgrup konečné grupy.
Věta o homomorfismu: Dává do souvislosti dvě grupy, mezi nimiž je homomorfismus, s jeho jádrem a obrazem.
Jordan-Hölderova věta: Každé dvě kompoziční řady dané grupy jsou izomorfní.
Krull-Schmidtova věta: Stanovuje podmínky pro to, aby grupa G byla konečným součinem svých nerozložitelných podgrup.
Burnsidovo lemma: Počet orbit akce grupy na množinu se rovná průměrnému počtu bodů fixovaných jednotlivými prvky grupy.
Klasifikace konečně generovaných abelovských grup: Každá konečně generovaná abelovská grupa je jednoznačně vyjádřitelná jako direktní suma cyklických grup řádu nekonečného nebo mocniny prvočísla.
Klasifikace konečných jednoduchých grup: Jeden z vrcholných výsledků matematiky 20. století.

Související články

Literatura

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 8: / Řádka 8: @@
 == Grupa ==
 : ''Související informace můžete najít také v článku:'' [[Grupa]]
-[[Grupa]] je základním pojmem teorie grup. Je definována jako [[množina]] <math>\mathbb{G}</math> spolu s [[binární operace|binární operací]] <math>\cdot</math> splňující tři grupové axiomy:
+[[Grupa]] je základním pojmem teorie grup. Je definována jako [[množina]] <big>\(\mathbb{G}\)</big> spolu s [[binární operace|binární operací]] <big>\(\cdot\)</big> splňující tři grupové axiomy:
 :{| cellpadding=5
 | [[Asociativita]]:
-| <math>f \cdot (g \cdot h) = (f \cdot g) \cdot h</math>
+| <big>\(f \cdot (g \cdot h) = (f \cdot g) \cdot h\)</big>
 |-
 | Existence neutrálního prvku:
-| <math>(\exists e) (\forall g) \quad g \cdot e = e \cdot g = g</math>
+| <big>\((\exists e) (\forall g) \quad g \cdot e = e \cdot g = g\)</big>
 |-
 | Existence inverzních prvků:
-| <math>(\forall g) (\exists h) \quad g \cdot h = h \cdot g = e</math>
+| <big>\((\forall g) (\exists h) \quad g \cdot h = h \cdot g = e\)</big>
 |}