Šok ⇒ Mobilizace !! Vláda velmi rychle a potichu mění zákony !!
Bojí se nevole občanů. Jde o čas... Kdo tady straší válkou, Babiš ??

Asociativita

Z Multimediaexpo.cz

Asociativita je v algebře vlastnost binární operace, spočívající v tom, že nezáleží, jak použijeme závorky u výrazu, kde je více operandů, v jakém pořadí budeme tedy tento výraz počítat.

Obsah

Definice

Binární operace * je na množině S asociativní, jestliže platí

(x * y) * z = x * (y * z)

pro každé x, y a z v S.

Příklady

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)
(7.3).2 = 21.2 = 42 = 7.6 = 7.(3.2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (ab) čísel nebo vektorové násobení vektorů.

\( 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 \).
\(2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3\)

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, \(2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}\) (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: \((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}\)).

Struktury s jednou binární operací
   Asociativita Neutrální prvek Inverzní prvek
Grupa FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Monoid FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png
Pologrupa FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Lupa FFresh cancel.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Kvazigrupa FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Grupoid FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png

Vlastnosti

Asociativita operace je důležitá, protože umožňuje nepoužívat závorky a např. zavedení mocnin s přirozeným mocnitelem.

Související články

Externí odkazy