Centrální moment
Z Multimediaexpo.cz
Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo \(k\) je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje \(\mu_k\).
Obsah |
Definice
K-tý centrální moment náhodné veličiny \(X\) je definován vzorcem
- \(\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]\),
kde \(\mu\) je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).
Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát
- \(\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i\),
kde \(p_i\) je pravděpodobnost, že \(X\) nabývá hodnoty \(x_i\).
Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát
- \(\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x\),
kde \(f(x)\) je hustota rozdělení dané veličiny.
Označení centrálních momentů
První centrální moment je vždy roven 0.
Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem \(\sigma^2\) nebo \(\operatorname{var}\,X\).
Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.
Vlastnosti
Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.
- \(\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)\)
Pro násobení konstantou platí
- \(\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)\)
Pro \(k\leq 3\) a nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) platí
- \(\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)\)
Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah
- \(\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime\),
kde \(\mu\) je střední hodnota a \(\mu_i^\prime\) je i-tý obecný moment.
Výběrový centrální moment
Výběrový centrální moment je definován vzorcem
\( m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k \)
Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:
- \(M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)
- \(M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3\)
- \(M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2\)
Reference
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |