Střední hodnota
Z Multimediaexpo.cz
Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.
Střední hodnota náhodné veličiny \(X\) se značí \(\operatorname{E}X\), \(\operatorname{E}(X)\) nebo také \(\langle X\rangle\).
Obsah |
Definice
Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu
- \(\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)\),
kde \(P\) je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny \(X\). Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
Speciálně:
- Má-li náhodná veličina \(X\) spojité rozdělení s hustotou rozdělení \(f(x)\), pak
- \(\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x\).
- Má-li náhodná veličina \(X\) diskrétní rozdělení kde \(P[X=s_{i}]=p_{i}\) pro \(i \in I\) nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak
- \(\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}\)
Vlastnosti
Střední hodnota konstanty \(c\) je
- \(\operatorname{E}(c)=c\)
Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny \(X\) a konstanty \(c\) platí
- \(\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)\)
Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin \(X, Y\) je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
- \(\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)\)
Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.
Pro nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
- \(\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)\)
Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!
Příklady
Diskrétní náhodná veličina
Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.
Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.
Spojitá náhodná veličina
Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |