Jednotková kružnice

Z Multimediaexpo.cz

Jednotková kružnice: sinus, cosinus a tangens
Jednotková kružnice s hodnotami sin a cos

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku souřadnic a o poloměru 1 používaná v matematice pro definici např. goniometrických funkcí.

Jejím zobecněním do vyšších rozměrů je jednotková koule.

Obsah

Goniometrické funkce

Výhoda jednotkové kružnice spočívá v tom, že goniometrické funkce jsou definovány poměry a číslo 1 se v poměrech neprojevuje (1 * a = a) nebo vytváří nepřímou úměrnost (1/a). Neprojeví se ani souřadnice jejího středu, protože leží v počátku [0,0]. Její rovnice je tudíž velice jednoduchá:

x2 + y2 = 1

Souřadnice bodů na jednotkové kružnici pak přímo udávají hodnoty funkcí sin a cos pro úhly, které jejich průvodiče svírají s kladnou poloosou x: x = cos φ a y = sin φ. Protože absolutní hodnoty těchto funkcí se po 180° opakují a pro úhly φ z intervalu 90-180° platí, že f(φ)=f(180°-φ), stačí je tabelovat jen pro interval 0-90° a jejich znaménka pak udává následující tabulka:

  α sin α cos α tg α cotg α
1. kvadrant 0–90° + + + +
2. kvadrant 90–180° +
3. kvadrant 180–270° + +
4. kvadrant 270–360° +

Periodičnost

Na jednotkové kružnici lze také sledovat tzv. periodu: bod A může po kružnici obíhat zcela libovolně, a to i několikrát, takže jeho průvodič (polopřímkaSA) může s kladnou poloosou x svírat nekonečně mnoho úhlů, jež se od sebe liší o 2π čili o 3600.

Tak se s polopřímkou svírající s kladnou poloosou x úhel \(\frac{\pi}{3}\) (tj. 60°) budou překrývat i polopřímky s úhly \(\frac{7 \pi}{3}\) (420°), \(\frac{13 \pi}{3}\) (780°), \(-\frac{5 \pi}{3}\) (-300°) nebo \(-\frac{13 \pi}{3}\) (-780°).

Na tom se zakládá periodičnost goniometrických funkcí.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Jednotková kružnice