Dovolená : 25. červenec — 22. srpen 2022
Holidays : 25 July — 22 August 2022
Vacaciones : 25 de julio — 22 de agosto de 2022

Minkowského prostor

Z Multimediaexpo.cz

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Obsah

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru \(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\) má 4 souřadnice

\(a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.\)

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta \(t\), ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím \(x,y,z\). Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu \(c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}\). V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá \(c=1\). Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru (\(\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}\) ) je definován vztahem

\(\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.\)

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

\(||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\)

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí \(||\mathbf{a}||^2=\pm 1\).

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory \(\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\), pro které platí

\(-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.\)

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

\(\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,\)

kde \(\eta\) je diagonální matice

\(\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.\)

Související články

Externí odkazy