Podgrupa

Z Multimediaexpo.cz

V matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *_H), je-li H podmnožinou G a *_H je podmnožinou operace *.

V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab.

Základní vlastnosti podgrup

• Podgrupa je grupa
• H je podgrupa grupy G, právě když je neprázdná a je uzavřená na operaci * (to znamená, že pokud a, b ∈ H, pak ab ∈ H) a na inverzi (tzn. jestliže a ∈ H, pak a⁻¹ ∈ H)
• Neutrální prvek v G se rovná neutrálnímu prvku v H
• Inverzní prvek v G se rovná inverznímu prvku v H

Zvláštní případy podgrup

• Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je zároveň triviální grupou).^[1] Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální).
• Je-li S podmnožina G, existuje nejmenší podgrupa grupy G obsahující S. Tato podgrupa se značí <S> a jmenuje se podgrupa generovaná množinou S (v případě, že S je jednoprvková, píšeme podgrupu jako <a> místo <{a}>).
• Zvláště významné jsou normální podgrupy splňující \(\forall g \in G \quad g \cdot H \equiv \{g \cdot h, h \in H \} = \{h \cdot g, h \in H \} \equiv H \cdot g \)

Reference

1. ↑ BLAŽEK, Jaroslav; CALDA, Emil, aj. Algebra a teoretická aritmetika, I. díl. [s.l.] : Státní pedagogické nakladatelství, 1983. S. 90.  

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii