Dovolená : 19. červenec 2024 — 11. srpen 2024
Holidays : 19 July 2024 — 11 August 2024
Vacaciones : 19 de julio 2024 — 11 de agosto 2024

Neutrální prvek

Z Multimediaexpo.cz

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací \(\otimes\) takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např \(\cdot\), je e často nazýván jednotkovým prvkem \((1 \cdot x = x)\). V případě použití aditivního značení, např. \(+\), je e často nazýván nulovým prvkem \((0 + x = x)\!\). Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Obsah

Příklady

  • Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
  • Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
  • Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
  • Pokud \((A,\ \otimes)\) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
  • Pokud \((A,\ \otimes)\) je množina všech zobrazení z množiny \(M\,\) do sebe sama a \(\otimes\) je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná \(\forall x \in M : id(x) = x\).
  • Pokud má \(A\,\) pouze dva prvky \(e\,\) a \(f\,\) a operace \(\otimes\) je definována tak, že \(e \otimes e = f \otimes e = e\) a \(f \otimes f = e \otimes f = f\), jsou oba prvky \(e\,\) a \(f\,\) levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, \((A,\otimes)\) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny \(A\,\) je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině \(A\,\) levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.[pozn 1]

Formální definice

Buď \(A\,\) množina a \(\otimes\) operace na \(A\,\).

  • Prvek \(e\in A\,\) se nazývá levý neutrální, právě když \(\forall x \in A : e \otimes x = x\).
  • Prvek \(e\in A\,\) se nazývá pravý neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = x\).
  • Prvek \(e\in A\,\) se nazývá neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x\).


Struktury s jednou binární operací
   Asociativita Neutrální prvek Inverzní prvek
Grupa FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Monoid FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png
Pologrupa FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Lupa FFresh cancel.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Kvazigrupa FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Grupoid FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png

Související články

Poznámky

  1. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak \(l = l \otimes r = r\). V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.