Exponenciální rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli). [1][2]

Příklad exponenciální rovnice:

\(2^{3 - x}=4^{2 - x}\)

Obsah

Řešení exponenciální rovnice

Stejné základy

V případě, že máme na obou stranách stejné základy mocniny (mocněnce), jde o nejjednodušší způsob řešení exponenciální rovnice.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

  1. \(2^{3 - x}=4^{2 - x}\)
  2. Základ 4 se dá napsat jako \(2^2\)
    \(2^{3 - x}=2^{2(2 - x)}\)
  3. Nyní máme stejné základy na obou stranách rovnice, takže to lze napsat následovně:
    \(3 - x = 2(2 - x)\)
  4. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
    \(3 - x = 4 - 2x\)
  5. \(-x + 2x = 4 - 3\)
  6. \(x = 1\)
    Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí stejného základu.

Logaritmování

V případě, že nemáme mít na obou stranách stejné základy, se rovnice řeší zlogaritmováním.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

  1. \(2^{3 - x}=4^{2 - x}\)
  2. Zlogaritmujeme rovnici:
    \(\log 2^{3 - x}=\log 4^{2 - x}\)
  3. Využijeme větu o logaritmech – přesuneme exponenty před logaritmus:
    \((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)
  4. Vynásobíme závorky s logaritmem:
    \(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)
  5. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
    \(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
  6. Vytkneme x:
    \(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
  7. Připravíme si rovnici k vyřešení a dopočítáme:
    \(x=\frac{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}{-\log 2 + \log 4} = \frac{\log 4^2 - \log 2^3}{-\log 2 + \log 4} = \frac{\log 16 - \log 8}{-\log 2 + \log 4}\)
  8. Řešení rovnice je:
    \(x = 1\)
    Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí logaritmu.

Substituce

Řešit exponenciální rovnici lze také pomocí substituce.

Příklad postupu řešení:

  1. \(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = 2^{x}\):
    \(a^{2} + a - 6 = 0\)
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)

    \(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

    \(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(2 = 2^x\)
    2. \(-3 = 2^x\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(2 = 2^x\)
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2\) se dá napsat jako \(2^1\):
        \(2^1 = 2^x\)
      2. \(1 = x\)
      3. Výsledek je:
        \(x = 1\)
        Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
    2. \(-3 = 2^x\)
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Související články

Reference

  1. ↑ Exponenciální rovnice - teorie a řešené příklady.  [cit. 2012-02-09]. Dostupné online.
     
  2. ↑ Exponenciální rovnice - teorie a řešené příklady.  [cit. 2012-02-09]. Dostupné online.
     

Externí odkazy


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Exponenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice“