Kosinová věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)

\(b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\)

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma\)

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak \(\cos \gamma = 0\) a tudíž \(c^2 = a^2 + b^2\).

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

Je-li α ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

\(a^2 = v_c^2 + (c-u)^2\).

Protože dále platí, že \(u = b \cos \alpha\) a \(v_c = b \sin \alpha\), lze psát

\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2\)

\(a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha\)

\(a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha\)

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)

Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je

\( \ a^2 = b^2 + c^2\).

Protože je α = π/2, je \(\cos \alpha = 0\), a pak

\(a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)

Je-li α tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

\(a^2 = v_c^2 + (c+u)^2\)

Protože dále platí, že \(u = b \cos (\pi - \alpha)\) a \(v_c = b \sin (\pi - \alpha)\) a dále \(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha\) a \(\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha\) lze psát

\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2\)

Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 5: / Řádka 5: @@
 Pro každý trojúhelník ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
-:<big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
+:<big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
-:<big>\(b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta</math>
+:<big>\(b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\)</big>
-:<big>\(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma</math>
+:<big>\(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma\)</big>
-Speciálním případem kosinové věty je [[Pythagorova věta]]: pokud je úhel γ pravý, pak <big>\(\cos \gamma = 0</math> a tudíž <big>\(c^2 = a^2 + b^2</math>.
+Speciálním případem kosinové věty je [[Pythagorova věta]]: pokud je úhel γ pravý, pak <big>\(\cos \gamma = 0\)</big> a tudíž <big>\(c^2 = a^2 + b^2\)</big>.
 Větu lze mimo jiné použít v&nbsp;případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.
@@ Řádka 17: / Řádka 17: @@
 * Je-li α ostrý a bod ''P'' patou výšky ''v<sub>c</sub>'', pak bod ''P'' náleží straně ''c'' (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty ''P'' od bodu ''A'' označíme ''u''. Pak podle Pythagorovy věty je
-: <big>\(a^2 = v_c^2 + (c-u)^2</math>.
+: <big>\(a^2 = v_c^2 + (c-u)^2\)</big>.
-: Protože dále platí, že <big>\(u = b \cos \alpha</math> a <big>\(v_c = b \sin \alpha</math>, lze psát
+: Protože dále platí, že <big>\(u = b \cos \alpha\)</big> a <big>\(v_c = b \sin \alpha\)</big>, lze psát
-: <big>\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2</math>
+: <big>\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2\)</big>
-: <big>\(a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha</math>
+: <big>\(a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha\)</big>
-: <big>\(a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha</math>
+: <big>\(a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha\)</big>
-: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
+: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 * Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
-: <big>\( \ a^2 = b^2 + c^2</math>.
+: <big>\( \ a^2 = b^2 + c^2\)</big>.
-: Protože je α = π/2, je <big>\(\cos \alpha = 0</math>, a pak
+: Protože je α = π/2, je <big>\(\cos \alpha = 0\)</big>, a pak
-: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
+: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 * Je-li α tupý a bod ''P'' patou výšky ''v<sub>c</sub>'', pak bod ''P'' leží mimo ''c''. Vzdálenost paty ''P'' od bodu ''A'' označíme ''u''. Pak podle Pythagorovy věty je
-: <big>\(a^2 = v_c^2 + (c+u)^2</math>
+: <big>\(a^2 = v_c^2 + (c+u)^2\)</big>
-: Protože dále platí, že <big>\(u = b \cos (\pi - \alpha)</math> a <big>\(v_c = b \sin (\pi - \alpha)</math> a dále <big>\(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha</math> a <big>\(\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha</math> lze psát
+: Protože dále platí, že <big>\(u = b \cos (\pi - \alpha)\)</big> a <big>\(v_c = b \sin (\pi - \alpha)\)</big> a dále <big>\(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha\)</big> a <big>\(\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha\)</big> lze psát
-: <big>\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2</math>
+: <big>\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2\)</big>
 : Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
-: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
+: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 == Související články ==