Kosinus
Z Multimediaexpo.cz
Kosinus je goniometrická funkce.
Pro označení této funkce se obvykle používá značka cos doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).
V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.
Grafem kosinu v reálném oboru je kosinusoida (posunutá sinusoida).
Obsah |
Kosinus na jednotkové kružnici
Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu x. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) y-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven sin α.
Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí:
- (sin α)2 + (cos α)2 = 1.
Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.
Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem \(\alpha+k \cdot 2\pi\) v úhlové míře resp. \(\alpha+k \cdot 360^\circ\) v míře stupňové, kde \(k\) je celé číslo. Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:
Kosinus v reálném oboru
Funkce \(y=\cos x\,\!\) má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):
- Definiční obor: \(\mathbb{R}\) (reálná čísla)
- Obor hodnot: \(\langle-1;1\rangle\)
- Rostoucí: v každém intervalu \(\left(\pi+2k\pi, 2 \pi + 2k\pi\right)\)
- Klesající: v každém intervalu \(\left(2k\pi, \pi+2k\pi\right)\)
- Maximum: +1 v bodech \(2k\pi\)
- Minimum: −1 v bodech \(\pi+2k\pi\)
- Derivace: \(y'=-\sin x\,\!\)
- Integrál: \(\int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + c\)
- Taylorův polynom: \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^{2})^{n}}{(2n)!}\)
- Inverzní funkce (na intervalu \(\langle -1;1\rangle\) a oborem hodnot \(\textstyle\left\langle 0, \pi \right\rangle\): Arkus kosinus (arccos)
- Kosinus dvojnásobného argumentu: \(\cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)
- je:
- sudá
- omezená shora i zdola
- periodická s periodou \(2k\pi\)
Kosinus v komplexním oboru
Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady
- \(\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\)
která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z1,z2 platí:
- \(\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\)
- \(\cos\left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2,\)
- \(\cos iz = \cosh z,\,\)
Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.
Související články
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |