V pátek 26. dubna 2024 úderem 22 hodiny začíná naše nová
a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!

Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Nový článek)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 6: Řádka 6:
=== Exponenciální rovnice ===
=== Exponenciální rovnice ===
Řešení [[exponenciální rovnice]] pomocí '''substituce''':
Řešení [[exponenciální rovnice]] pomocí '''substituce''':
-
# <math>2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
+
# <big>\(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
-
# Zavedeme substituci <math>a = 2^{x}</math>:<br /><math>a^{2} + a - 6 = 0</math>
+
# Zavedeme substituci <big>\(a = 2^{x}</math>:<br /><big>\(a^{2} + a - 6 = 0</math>
-
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><math>a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math><br /><br /><math>a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math><br /><br /><math>a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
+
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
-
## <math>2 = 2^x</math>
+
## <big>\(2 = 2^x</math>
-
## <math>-3 = 2^x</math>
+
## <big>\(-3 = 2^x</math>
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-
## <math>2 = 2^x</math>
+
## <big>\(2 = 2^x</math>
-
### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <math>2</math> se dá napsat jako <math>2^1</math>:<br /><math>2^1 = 2^x</math>
+
### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <big>\(2</math> se dá napsat jako <big>\(2^1</math>:<br /><big>\(2^1 = 2^x</math>
-
### <math>1 = x</math>
+
### <big>\(1 = x</math>
-
### Výsledek je:<br /><math>x = 1</math><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
+
### Výsledek je:<br /><big>\(x = 1</math><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
-
## <math>-3 = 2^x</math><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
+
## <big>\(-3 = 2^x</math><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
=== Goniometrická rovnice ===
=== Goniometrická rovnice ===
Řešení [[goniometrické rovnice]] pomocí '''substituce''':
Řešení [[goniometrické rovnice]] pomocí '''substituce''':
-
# <math>(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
+
# <big>\((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
-
# Zavedeme substituci <math>a = \sin x</math>:<br /><math>a^{2} + 2a - 3 = 0</math>
+
# Zavedeme substituci <big>\(a = \sin x</math>:<br /><big>\(a^{2} + 2a - 3 = 0</math>
-
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><math>a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math><br /><br /><math>a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math><br /><br /><math>a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
+
# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
-
## <math>\sin x = 1</math>
+
## <big>\(\sin x = 1</math>
-
## <math>\sin x = -3</math>
+
## <big>\(\sin x = -3</math>
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-
## <math>\sin x = 1</math><br /><math>x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math>
+
## <big>\(\sin x = 1</math><br /><big>\(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math>
-
## <math>\sin x = -3</math><br /><math>x = \phi</math><br />Tím je vyřešená [[goniometrická rovnice]] pomocí substituce.
+
## <big>\(\sin x = -3</math><br /><big>\(x = \phi</math><br />Tím je vyřešená [[goniometrická rovnice]] pomocí substituce.
== Související články ==
== Související články ==

Verze z 14. 8. 2022, 14:50

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). [1]

Obsah

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

  1. \(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
  2. Zavedeme substituci \(a = 2^{x}</math>:
    \(a^{2} + a - 6 = 0</math>
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math>

    \(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math>

    \(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(2 = 2^x</math>
    2. \(-3 = 2^x</math>
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(2 = 2^x</math>
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2</math> se dá napsat jako \(2^1</math>:
        \(2^1 = 2^x</math>
      2. \(1 = x</math>
      3. Výsledek je:
        \(x = 1</math>
        Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
    2. \(-3 = 2^x</math>
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

  1. \((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
  2. Zavedeme substituci \(a = \sin x</math>:
    \(a^{2} + 2a - 3 = 0</math>
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math>

    \(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math>

    \(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \(\sin x = 1</math>
    2. \(\sin x = -3</math>
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(\sin x = 1</math>
      \(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math>
    2. \(\sin x = -3</math>
      \(x = \phi</math>
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

Reference

  1. ↑ Substituce - definice


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Substituce_(matematika)“