Aproximace

Z Multimediaexpo.cz

Aproximace (z lat. ad a proximus, blízký) znamená přiblížení; odtud přídavné jméno aproximativní, přibližný.

Obsah

V matematice a geometrii

V matematice znamená aproximace přibližnou hodnotu čísla nebo jednu z možných hodnot čísla, nebo také nahrazení čísla vhodným číslem blízkým. V geometrii se jedná o proložení několika bodů křivkou, přičemž není nutné, aby aproximační křivka přesně procházela zadanými body. (Na rozdíl od interpolace.)

Důvody aproximace

  • příliš náročný výpočet funkce (složitý funkční předpis, implicitně zadané funkce, …)
  • potřeba výpočtu dalších charakteristických funkcí (derivace, integrál, …)

Příklad

Např. Ludolfovo číslo lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou 22⁄7. Aproximace čísla \(\pi\) je tedy 22⁄7.

Přibližné vztahy využívající Taylorova rozvoje

Mnohé aproximace jsou založeny na rozvoji dané funkce v Taylorovu řadu a následném zanedbání vyšších členů rozvoje. Přesnost aproximace pak souvisí s počtem členů, které jsou použity. Mezi často používané přibližné vztahy patří např.

  • \(\mathrm{e}^{\pm x} \approx 1 \pm x\) (pro \(x\) blízké nule, příklad v článku Linearizace)
  • \(\ln(1 \pm x) \approx \pm x\) (pro \(x\) blízké nule)
  • Je-li absolutní hodnota proměnných \(x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_n\) blízká nule, pak
\(\frac{(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n)}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n\)

Speciálními případy jsou pak vztahy

\((1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n) \approx 1\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n\)
\(\frac{1}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n\)
  • Z předchozích vztahů lze pro \(n\)-tou mocninu získat vztah (stejný vztah lze získat z binomické věty zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny x)
\({(1\pm x)}^n \approx 1 \pm nx\)
  • Pro \(n\)-tou odmocninu lze nalézt přibližný výraz
\(\sqrt[n]{1\pm x} \approx 1\pm \frac{x}{n}\)
  • Pro dvě kladná a blízká čísla \(x\) a \(y\) taková, že čtverec jejich rozdílu \({(x-y)}^2\) lze zanedbat proti čtverci jejich součtu \({(x+y)}^2\), lze psát
\({(x+y)}^2 \approx 4xy\)
\(\sqrt{xy} \approx \frac{x+y}{2}\)

Přibližné výrazy goniometrických funkcí

Pro malý úhel \(\alpha\neq 0\) a libovolný úhel \(\beta\) lze pro goniometrické funkce použít následující přibližné vztahy.

  • \(\sin\alpha \approx \alpha\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,08\,\mbox{rad}\) neboli \(4,5^\circ\). Přesnějším přiblížením je

\(\sin\alpha\approx\alpha - \frac{\alpha^3}{6}\)

s relativní chybou menší než \(10^{-5}\) pro \(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\) neboli \(14^\circ\).

  • \(\cos\alpha \approx 1\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,04\,\mbox{rad}\) neboli \(2,3^\circ\). Přesnějším přiblížením je

\(\cos\alpha\approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}\)

s relativní chybou menší než \(10^{-4}\) pro \(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\) neboli \(14^\circ\).

  • \(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,06\,\mbox{rad}\) neboli \(3,4^\circ\). Přesnějším přiblížením je

\(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha+\frac{\alpha^3}{3}\)

s relativní chybou menší než \(5\cdot{10}^{-4}\) pro \(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\) neboli \(14^\circ\).

  • \(\alpha\sin\alpha\approx 1\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,017\,\mbox{rad}\) neboli \(1,008^\circ\).

  • \(\sin(\beta\pm\alpha)\approx\sin\beta\pm\alpha\cos\beta\)
  • \(\cos(\beta\pm\alpha)\approx\cos\beta\mp\alpha\sin\beta\)
  • \(\operatorname{tg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{tg}\beta\pm\alpha\cos{2\beta}\)
  • \(\operatorname{cotg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{cotg}\beta\mp\alpha\sin{2\beta}\)

Související články


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Aproximace“