Banachův prostor

Z Multimediaexpo.cz

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy.

Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha (* březen 1892, † srpen 1945), který je studoval.

Obsah

Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor \(V\) nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou \(\|\cdot\|\), ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice \(d(x,y) = \|x - y\|\) limitu.

Příklady

  • Prostory \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{C}^n\) (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{C}^n\) eukleidovskou normou
\(\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}\),
pro \(x = (x_1, \ldots ,x_n)\), budou dokonce Hilbertovy.
\(\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|\)
je Banachův.
  • Vybavíme-li předchozí prostor normou
\(\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt\) nebo \(\|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt}\),
Banachův již nebude.
  • Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou
\(\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}\)
je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě \(Y=\mathbb{C}\).

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Banachův prostor