Dovolená : 25. červenec — 22. srpen 2022
Holidays : 25 July — 22 August 2022
Vacaciones : 25 de julio — 22 de agosto de 2022

Kleinova-Gordonova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Kleinova-Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

\(\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0\)

Zde \(m\) je klidová hmotnost částice, \(c\) je rychlost světla ve vakuu, \(\hbar\) je redukovaná Planckova konstanta, \(\psi\) je vlnová funkce a \(\square\) je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

\(\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}\)

(\(\Delta=\nabla\cdot\nabla\) je Laplaceův operátor, \(\nabla\) je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Obsah

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

\(\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V\)

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii \(T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)\), který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

\(E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,\)

kde \(m\) je klidová hmotnost částice, \(\mathbf{p}\) je vektor hybnosti a \(c\) je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

\(\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}\)
\(\hat{p} = -i\hbar\nabla\)

(Konstanta \(i\) je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

\(-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.\)

Rovnici vydělíme \(\hbar^2c^2\), odečteme pravou stranu a získáme

\(\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,\)

kde je na levé straně již vidět působení operátoru \(\square\) na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta \(\left(mc/\hbar\right)^2\), kde \(m\) je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je \(\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)\) a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar

\({\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.\)

Problémy

Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci \(\psi\left(\mathbf{r},t\right)\) v okamžiku \(t=t_0\), ale zároveň i její derivaci \(\partial\psi/\partial t\). V důsledku z toho také plyne, že veličina

\(\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,\)

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

Externí odkazy