Relativistická hmotnost

Z Multimediaexpo.cz

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ ,

kde $m_0$ je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), $v$ je rychlost tělesa vůči pozorovateli a $c$ rychlost světla.

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je $\omega$ , probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

$m_1+m_2 = M,\,$

$v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,$

$m'_1+m'_2 = M',\,$

$v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,$

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

$v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},$

$v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},$

$V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.$

Pro jednoduchost položíme $v_1=0$ . Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

$(m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,$

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

$m_1={}^0m_1 f(0),\,$

$m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,$

$m_2={}^0m_2 f(v_2),\,$

$m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,$

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

$\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,$

Pro $v_2=\omega$ tedy (za podmínky $f(0) = 1$ ) získáme

$f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},$

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.

200 sociálních sítí a dalších služeb !

Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii