V pátek 26. dubna 2024 úderem 22 hodiny začíná naše nová
a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!

Kleinova-Gordonova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Kleinova-Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

<math>\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0</math>

Zde <math>m</math> je klidová hmotnost částice, <math>c</math> je rychlost světla ve vakuu, <math>\hbar</math> je redukovaná Planckova konstanta, <math>\psi</math> je vlnová funkce a <math>\square</math> je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

<math>\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}</math>

(<math>\Delta=\nabla\cdot\nabla</math> je Laplaceův operátor, <math>\nabla</math> je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Obsah

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

<math>\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V</math>

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii <math>T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)</math>, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

<math>E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,</math>

kde <math>m</math> je klidová hmotnost částice, <math>\mathbf{p}</math> je vektor hybnosti a <math>c</math> je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

<math>\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}</math>
<math>\hat{p} = -i\hbar\nabla</math>

(Konstanta <math>i</math> je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

<math>-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.</math>

Rovnici vydělíme <math>\hbar^2c^2</math>, odečteme pravou stranu a získáme

<math>\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,</math>

kde je na levé straně již vidět působení operátoru <math>\square</math> na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta <math>\left(mc/\hbar\right)^2</math>, kde <math>m</math> je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je <math>\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)</math> a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar

<math>{\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.</math>

Problémy

Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci <math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)</math> v okamžiku <math>t=t_0</math>, ale zároveň i její derivaci <math>\partial\psi/\partial t</math>. V důsledku z toho také plyne, že veličina

<math>\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,</math>

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kleinova-Gordonova_rovnice“