Dovolená : 25. červenec — 22. srpen 2022
Holidays : 25 July — 22 August 2022
Vacaciones : 25 de julio — 22 de agosto de 2022

Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. [1] [2]

Příklad, jak může rovnice vypadat:

\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)

Obsah

Řešení logaritmické rovnice

[3] [4]

Jednoduchá rovnice

  1. \(\log_5 \frac{1}{125} = x\)
  2. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
    \(5^x = \frac{1}{125}\)
  3. Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili \(125\) se dá napsat jako \(5^3\):
    \(5^x = \frac{1}{5^3}\)
  4. Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen \(5\)
    \(5^x = 5^{-3}\)
  5. \(x = -3\)

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

  1. \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)
    1. Podmínkou je, že \(3x - 5 > 0\)
    2. \(3x > 5\)
    3. \(x > \frac{5}{3}\)
  2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
    \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\)
  3. \(\frac{1}{7}\) napíšeme jako exponent:
    \(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\)
  4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
    \((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\)
  5. Z exponentu \(\frac{1}{7}\) uděláme sedmou odmocninu:
    \(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\)
  6. Celou rovnici umocníme na 7:
    \(3x - 5 = 1\)
  7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
    \(3x = 1 + 5\)
  8. \(3x = 6\)
  9. Celou rovnici vydělíme 3:
    \(x = 2\)

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

  1. \((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)
  2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
    \(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)
  3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
    \(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
  4. Vytkneme x:
    \(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
  5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
    \(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\)
  6. \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)
  7. Vypočítáme na kalkulačce:
    \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\)
  8. Výsledek je:
    \(x = 1\)

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

  1. \((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)
    Poznámka: \((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)
    1. Podmínkou je, že \(x > 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = \log_2 x\) čili:
    \(a^2 - a - 2 = 0\)
  3. \((a - 2)(a + 1)\)
  4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
    1. \(a_1 = 2\)
    2. \(a_2 = -1\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(\log_2 x = 2\)
      1. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
        \(x = 2^2\)
      2. \(x = 4\)
    2. \(\log_2 x = -1\)
      1. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
        \(x = 2^{-1}\)
      2. \(x = \frac{1}{2^1}\)
      3. \(x = \frac{1}{2}\)

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

Reference

  1. Logaritmická rovnice - teorie
  2. Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
  3. Logaritmická rovnice - řešené příklady
  4. Logaritmická rovnice - řešené příklady