Dovolená : 19. červenec 2024 — 11. srpen 2024
Holidays : 19 July 2024 — 11 August 2024
Vacaciones : 19 de julio 2024 — 11 de agosto 2024

Průnik

Z Multimediaexpo.cz

Průnik množin A a B

V matematice se jako průnik dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách a obsahuje všechny takové prvky. Průnik množin A a B se označuje symbolem AB.

Formální definice

Pro všechna x platí, že \(x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \land \left (x \in B \right ) \).

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že xABC iff xA a zároveň xB a zároveň xC. Průnik \(n\) množin \(A_1, A_2, ..., A_n\) lze zkráceně psát

\(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_2 = \bigcap_{i=_1}^n {A_i}\)


Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny sudých kladných čísel { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

Vlastnosti

Operace průniku dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (AB) ∩ C = A ∩ (BC). Současný průnik všech tří množin – ABC – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je komutativní operace, platí tedy, že AB = BA.

Neutrálním prvkem pro operaci průniku je univerzum, tzn. množina všech prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy \(A \cap I = A\).

Výsledkem průniku množiny \(A\) s prázdnou množinou je opět prázdná množina, tzn. \(A \cap \emptyset = \emptyset\).

Je-li výsledkem průniku dvou množin \(A,B\) prázdná množina, pak platí \(A \cap B \leftrightarrow B \subseteq -A\), kde \(-A\) je dopňkem množiny \(A\).

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce a zároveň.

Mohutnost průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |AB| ≤ min { |A|, |B| }.

Průnik je idempotentní, tzn. platí \(A \cap A = A\).

Související články