Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 6. 3. 2014, 14:26 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) m (1 revizi) ← Porovnání se starší verzí		Verze z 28. 7. 2014, 23:44 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) (+ Masivní vylepšení) Porovnání s novější verzí →
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{Wikipedia-cs|Logaritmická rovnice|700}}	+	'''Logaritimická rovnice''' je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.
		+	<ref>[http://www.aristoteles.cz/matematika/rovnice/logaritmicke/logaritmicke-rovnice.php Logaritmická rovnice - teorie]</ref>
		+	<ref>[http://www.sps-karvina.cz/www/Ict2005/manual/data/matematika/VYUKA/06.rovnice_nerovnice/7.logaritmicke_rovnice/3.logaritmicke_rovnice.pdf Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady]</ref>
		+	''Příklad, jak může rovnice vypadat:''
		+
		+	<math>(3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>
		+
		+	== Řešení logaritmické rovnice ==
		+	<ref>[http://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/logaritmicke-rovnice.php Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
		+	<ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
		+	=== Jednoduchá rovnice ===
		+	# <math>\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
		+	# Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><math>5^x = \frac{1}{125}</math>
		+	# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <math>125</math> se dá napsat jako <math>5^3</math>:<br /><math>5^x = \frac{1}{5^3}</math>
		+	# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <math>5</math><br /><math>5^x = 5^{-3}</math>
		+	# <math>x = -3</math>
		+	Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
		+
		+	=== Odstraněním logaritmu ===
		+	# <math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
		+	## Podmínkou je, že <math>3x - 5 > 0</math>
		+	## <math>3x > 5</math>
		+	## <math>x > \frac{5}{3}</math>
		+	# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
		+	# <math>\frac{1}{7}</math> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><math>log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
		+	# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><math>(3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
		+	# Z [[exponent]]u <math>\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><math>\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
		+	# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><math>3x - 5 = 1</math>
		+	# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><math>3x = 1 + 5</math>
		+	# <math>3x = 6</math>
		+	# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><math>x = 2</math>
		+	Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
		+
		+	=== S pomocí kalkulačky ===
		+	# <math>(3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
		+	# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><math>3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
		+	# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><math>- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
		+	# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><math>x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
		+	# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><math>x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
		+	# <math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
		+	# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
		+	# Výsledek je:<br /><math>x = 1</math>
		+	Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
		+
		+	=== Substituce ===
		+	# <math>(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math><br />Poznámka: <math>(\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
		+	## Podmínkou je, že <math>x > 0</math>
		+	# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <math>a = \log_2 x</math> čili:<br /><math>a^2 - a - 2 = 0</math>
		+	# <math>(a - 2)(a + 1)</math>
		+	# Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]:
		+	## <math>a_1 = 2</math>
		+	## <math>a_2 = -1</math>
		+	# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
		+	## <math>\log_2 x = 2</math>
		+	### Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><math>x = 2^2</math>
		+	### <math>x = 4</math>
		+	## <math>\log_2 x = -1</math>
		+	### Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><math>x = 2^{-1}</math>
		+	### <math>x = \frac{1}{2^1}</math>
		+	### <math>x = \frac{1}{2}</math>
		+	Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Logaritmus]]
		+	* [[Rovnice]]
		+	* [[Lineární rovnice]]
		+	* [[Exponenciální rovnice]]
		+	** [[Umocňování]]
		+	* [[Substituce (matematika)]]
		+	* [[Kvadratická rovnice]]
		+	* [[Vytýkání]]
		+
		+	== Reference ==
		+	<references/>
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Rovnice]]		[[Kategorie:Rovnice]]

---

Verze z 28. 7. 2014, 23:44

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. ^{[1] [2]}

Příklad, jak může rovnice vypadat:

<math>(3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>

Obsah 1 Řešení logaritmické rovnice 1.1 Jednoduchá rovnice 1.2 Odstraněním logaritmu 1.3 S pomocí kalkulačky 1.4 Substituce 2 Související články 3 Reference

Řešení logaritmické rovnice

^{[3] [4]}

Jednoduchá rovnice

1. <math>\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
2. Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
   <math>5^x = \frac{1}{125}</math>
3. Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili <math>125</math> se dá napsat jako <math>5^3</math>:
   <math>5^x = \frac{1}{5^3}</math>
4. Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <math>5</math>
   <math>5^x = 5^{-3}</math>
5. <math>x = -3</math>

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

1. <math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
   1. Podmínkou je, že <math>3x - 5 > 0</math>
   2. <math>3x > 5</math>
   3. <math>x > \frac{5}{3}</math>
2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
   <math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
3. <math>\frac{1}{7}</math> napíšeme jako exponent:
   <math>log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
   <math>(3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
5. Z exponentu <math>\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou odmocninu:
   <math>\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
6. Celou rovnici umocníme na 7:
   <math>3x - 5 = 1</math>
7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   <math>3x = 1 + 5</math>
8. <math>3x = 6</math>
9. Celou rovnici vydělíme 3:
   <math>x = 2</math>

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

1. <math>(3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   <math>3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   <math>- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
4. Vytkneme x:
   <math>x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
   <math>x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
6. <math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
7. Vypočítáme na kalkulačce:
   <math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
8. Výsledek je:
   <math>x = 1</math>

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

1. <math>(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math>
   Poznámka: <math>(\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
   1. Podmínkou je, že <math>x > 0</math>
2. Zavedeme substituci <math>a = \log_2 x</math> čili:
   <math>a^2 - a - 2 = 0</math>
3. <math>(a - 2)(a + 1)</math>
4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
   1. <math>a_1 = 2</math>
   2. <math>a_2 = -1</math>
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. <math>\log_2 x = 2</math>
      1. Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
         <math>x = 2^2</math>
      2. <math>x = 4</math>
   2. <math>\log_2 x = -1</math>
      1. Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
         <math>x = 2^{-1}</math>
      2. <math>x = \frac{1}{2^1}</math>
      3. <math>x = \frac{1}{2}</math>

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

• Logaritmus
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Exponenciální rovnice
  • Umocňování
• Substituce (matematika)
• Kvadratická rovnice
• Vytýkání

Reference

1. ↑ Logaritmická rovnice - teorie
2. ↑ Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
3. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
4. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii