V pátek 26. dubna 2024 začala naše nová
a velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte rychle soutěžit o lákavé ceny !!

Dostředivé zrychlení

Z Multimediaexpo.cz

Při křivočarém pohybu je výhodné rozložit zrychlení do směru pohybu, tzn. do směru tečny k trajektorii, a do směru kolmého k pohybu, tzn. do směru normály k trajektorii. Hovoříme pak o tečném zrychlení a normálovém (také dostředivém) zrychlení.

Směr kolmý k trajektorii je dán normálou trajektorie a složka zrychlení, která má stejný směr jako tato normála, se označuje jako normálové zrychlení (hovoří se také o normálové složce zrychlení) \(\mathbf{a}_n\). Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti trajektorie, a proto se často nazývá dostředivým zrychlením a značí \(\mathbf{a}_d\).

Obsah

Vektor a velikost normálového zrychlení

Pro velikost normálového zrychlení platí vztah

\(a_n = \frac{\mathrm{d}v_n}{\mathrm{d}t} = \frac{v^2}{\rho}\),

kde \(\mathrm{d}v_n\) je změna velikosti rychlosti ve směru normály k trajektorii pohybu, \(\mathbf{v}\) je okamžitá rychlost a \(\rho\) je poloměr křivosti v daném bodě trajektorie.

Velikost dostředivého zrychlení závisí na rychlosti (obvodové nebo úhlové) a na poloměru zakřivení trajektorie (u pohybu po kružnici na poloměru kružnice). Směr dostředivého zrychlení je do středu zakřivení (do středu kružnice) a je kolmý k vektoru rychlosti.

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Související informace naleznete také v článku: Rovnoměrný pohyb po kružnici

Při rovnoměrném pohybu po kružnici je poloměr křivosti \(\rho\) roven poloměru kružnice \(r\). Použijeme-li navíc vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí, pak pro velikost dostředivého zrychlení získáme vztah

\(a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r \,\),

kde v je velikost obvodové rychlosti, ω úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Odvození

K odvození velikosti dostředivého zrychlení
\(\vec a = \frac {\Delta \vec v} {\Delta t}\)
\(\frac {v_a} {\Delta v} = \frac {r} {\Delta s}\)

Vzorec vyplývá z podobnosti rovnoramenných trojúhelníků se stejným vrcholovým úhlem, přičemž trajektorii \( {\Delta s}\) aproximujeme přeponou AB, neboť ta se k trajektorii limitně blíží.

\(v_a \cdot \Delta s = r \cdot \Delta v\)
\(\Delta v = \frac {v_a \cdot \Delta s} {r}\)
\(\frac {\Delta v} {\Delta t} = \frac {v_a} {r} \cdot \frac {\Delta s} {\Delta t}\)

Obě strany rovnice vydělíme \( {\Delta t}\) a interpretujeme vzniklé derivace (diferenciály) jako zrychlení a rychlost.

\(a = \frac {v_a} {r} \cdot v_a\)
\(\rightarrow a = \frac {v_a^2} {r} \Leftrightarrow a = \omega^2 \cdot r\)

Související články