Mechanika kontinua

Z Multimediaexpo.cz

Přejít na: navigace, hledání

Mechanika kontinua je část mechaniky, která zkoumá látku bez zřetele na její diskrétní strukturu. Přestože je diskrétní struktura látky prokázána, je často vhodné sledovat těleso jako část prostoru, která je spojitě vyplněna látkou o určitých vlastnostech. Tento přechod od diskrétní struktury hmoty k představě o spojitém prostředí (kontinuu) lze provést při zkoumání látky z makroskopického hlediska. Na úrovni mikroskopické je nutno diskrétní strukturu zohledňovat. V mechanice kontinua nejsou fyzikální vlastnosti přiřazovány hmotným bodům nebo částicím, ale jednotlivým geometrickým bodům. Z hlediska fyzikálního tedy danému geometrickému bodu přiřadíme vhodnou průměrnou hodnotu, která charakterizuje rozložení dané veličiny v okolí zvoleného bodu, přičemž požadujeme, aby se při tomto popisu neprojevovala diskrétní struktura skutečné látky.

Obsah

Částice kontinua

Částicí kontinua se označuje oblast spojitého prostředí, v jejímž objemu lze považovat sledované fyzikální veličiny za konstantní.

Kinematika kontinua

Pro tekutiny

Viskózní síly se neprojevují, pokud je tekutina v rovnováze. Při pohybu toto již neplatí. Proto jsou pohybové rovnice pro ideální tekutinu a posléze rovnice určující pohyb vazkých tekutin. Jsou dvě možné cesty, jak rovnice odvodit. První, zvaná Lagrangeova, spočívá ve sledování pohybu libovolné částice tekutiny. Druhá, zvaná Eulerova, sleduje změny fyzikálních veličin v určitém, pevně zvoleném bodě prostoru.

Lagrangeova metoda

Při Lagrangeově metodě si vybereme jednu konkrétní částici v čase t0. Poloha částice v čase t bude záviset na počáteční poloze a na čase t. Rychlost vi a zrychlení wi určíme následovně

  • vi = (∂xi/∂t)

a

  • wi = (∂vi/∂t)= (∂2xi/∂t2)

Lagrangeova metoda popisu kontinua určuje v okamžiku zahájení pozorování (v čase ) polohy částic kontinua jejich souřadnicemi . Souřadnice těchto částic v čase pak označíme a píšeme

Pro pevně dané se hovoří o trajektorii částice kontinua. Trajektorie je určena dráhou pohybu zvolené částice kontinua. Pokud bychom chtěli takto popsat každou částici v tekutině, bylo by to velice nepraktické.

Eulerova metoda

Eulerova metoda vyšetřuje stav proudění částic v určitém místě prostoru. Rychlost částice kontinua nacházející se v okamžiku v bodě je určena

Proložíme-li kontinuem křivky, jejichž tečny mají v každém bodě kontinua směr rychlosti , pak se takové křivky označují jako proudnice. Proudnice je určena rychlostmi různých částic kontinua v daném okamžiku. Trajektorie a proudnice jsou obecně různé křivky. Oba druhy křivek splývají pouze v případě, že rychlosti jsou na čase nezávislé. V takovém případě hovoříme o stacionárním (ustáleném) pohybu kontinua.

Translační, rotační a deformační pohyb kontinua

Mechanika kontinua se zabývá především takovými pohyby, při nichž dochází ke změnám ve vzájemné poloze částic kontinua. Pokud ke změnám ve vzájemné poloze částic nedochází, pak se kontinuum pohybuje jako tuhé těleso. Uvažujme v bodě rychlost určenou podle Eulerovy metody jako a v blízkém bodě nechť je rychlost , což vyjádříme pomocí přibližného vztahu

Výraz lze vyjádřit pomocí následující identity

Pravá strana představuje rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou část. Pomocí tohoto rozkladu získáme

První dva členy na pravé straně představují pohyb kontinua jako celku, přičemž první člen představuje rychlost translačního pohybu a druhý člen rychlost rotace. Poslední člen udává rychlost, s jakou se mění vzdálenosti částic v okolí bodu . Tento člen tedy popisuje deformaci kontinua (tzv. deformační pohyb). Uvedená rovnice je obsahem tzv. první Helmholtzovy věty, podle které lze pohyb kontinua v okolí určitého bodu rozložit na pohyb translační (posuvný), na pohyb rotační (otáčivý) a pohyb deformační.

Reference

  • Miroslav Brdička, Ladislav Samek a Bruno Sopko: Mechanika kontinua, Academia, 2000

Související články