Monoid
Z Multimediaexpo.cz
| Struktury s jednou binární operací | |||
|---|---|---|---|
| Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | |
| Grupa |  | |
|
| Monoid | | | 
|
| Pologrupa | | |
|
| Lupa | | |
|
| Kvazigrupa | | |
|
| Grupoid | | |
|
V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem.
Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.
Obsah |
Definice
Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:
- Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
- Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.
Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.
- ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M
Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.
Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.
Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.
Příklady
- Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
- Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení
Homomorfismus monoidů
O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:
- ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
- f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).
Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |