Vrh šikmý

Z Multimediaexpo.cz

Vrh šikmý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost svírá s horizontem nenulový elevační úhel.

Pokud vrh probíhá ve vakuu, pohybuje se těleso po parabole, ve vzduchu (tzn. s nezanedbatelným odporem vzduchu) po tzv. balistické křivce.

Matematický model

Předpokládejme, že těleso má počáteční rychlost v0 svírající s vodorovným směrem elevační úhel α. Následný pohyb (ve vakuu, resp. při zanedbání odporu vzduchu) se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu touto rychlostí v původním směru (tímto směrem položíme osu x) a z volného pádu (tedy rovnoměrně zrychleného pohybu) ve směru gravitačního zrychlení g, který lze ztotožnit s pohybem ve směru osy y. Ve směru osy z tedy pohyb neprobíhá (trajektorií tedy bude rovinná křivka).

Proto platí:

,
.

Obvykle je vhodné položit počátek soustavy souřadnic do bodu .


Z uvedených rovnic lze určit maximální dosaženou výšku:

a délku vrhu (tedy vzdálenost, po které těleso klesne do původní výšky), neboli dostřel:

Při pohybu v prostředí s nezanedbatelným odporem opisuje těleso asymetrickou balistickou křivku, u které je délka vrhu kratší než u pohybu při zanedbání odporu vzduchu.

Speciální případy

  • Volný pád - Počáteční rychlost je nulová a pro rychlost dostáváme vztah . Dráha, kterou těleso urazí od počátku do času je .
  • Svislý vrh vzhůru - Celý pohyb probíhá pouze ve směru osy y (elevační úhel ). Počáteční rychlost je nenulová (pro nulovou počáteční rychlost by se jednalo o volný pád). Pro rychlost pak dostaneme vztah . Vzdálenost (okamžitá výška) tělesa nad bodem, z něhož bylo vrženo, je dána vztahem . V nejvyšším bodě výstupu je rychlost nulová. Odsud získáme dobu výstupu . Dosazením do vztahu pro dráhu dostaneme po úpravě výšku výstupu . Z nejvyššího bodu trajektorie padá těleso zpět volným pádem a bodu, z něhož bylo vrženo dosáhne za dobu, která se rovná době výstupu.
  • Vodorovný vrh - Při vodorovném vrhu směřuje počáteční rychlost ve směru osy x (elevační úhel ). Délka vrhu je vzdálenost za kterou dojde ke změně y-ové souřadnice o velikost . Platí pro ni doba letu . Dosazením doby letu do vztahu pro x-ovou souřadnici získáme délku vrhu .

Související články