Dovolená : 25. červenec — 22. srpen 2022
Holidays : 25 July — 22 August 2022
Vacaciones : 25 de julio — 22 de agosto de 2022

Vrh šikmý

Z Multimediaexpo.cz

Vrh šikmý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost svírá s horizontem nenulový elevační úhel.

Pokud vrh probíhá ve vakuu, pohybuje se těleso po parabole, ve vzduchu (tzn. s nezanedbatelným odporem vzduchu) po tzv. balistické křivce.

Matematický model

Předpokládejme, že těleso má počáteční rychlost v0 svírající s vodorovným směrem elevační úhel α. Následný pohyb (ve vakuu, resp. při zanedbání odporu vzduchu) se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu touto rychlostí v původním směru (tímto směrem položíme osu x) a z volného pádu (tedy rovnoměrně zrychleného pohybu) ve směru gravitačního zrychlení g, který lze ztotožnit s pohybem ve směru osy y. Ve směru osy z tedy pohyb neprobíhá (trajektorií tedy bude rovinná křivka).

Proto platí:

\(x = x_0 + v_0 t \cos{\alpha}\,\),
\(y = y_0 + v_0 t \sin{\alpha} - \frac{1}{2} g t^2\).

Obvykle je vhodné položit počátek soustavy souřadnic do bodu \([x_0,y_0]\).


Z uvedených rovnic lze určit maximální dosaženou výšku:

\(y_{max} = y_0 + \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2{\alpha} }{g}\)

a délku vrhu (tedy vzdálenost, po které těleso klesne do původní výšky), neboli dostřel:

\(d = \frac{v_0^2}{g} \sin{2\alpha}\)

Při pohybu v prostředí s nezanedbatelným odporem opisuje těleso asymetrickou balistickou křivku, u které je délka vrhu kratší než u pohybu při zanedbání odporu vzduchu.

Speciální případy

  • Volný pád - Počáteční rychlost je nulová a pro rychlost dostáváme vztah \(v=gt\). Dráha, kterou těleso urazí od počátku do času \(t\) je \(s=\frac{1}{2}gt^2\).
  • Svislý vrh vzhůru - Celý pohyb probíhá pouze ve směru osy y (elevační úhel \(\alpha=\frac{\pi}{2}\)). Počáteční rychlost \(v_0\) je nenulová (pro nulovou počáteční rychlost by se jednalo o volný pád). Pro rychlost pak dostaneme vztah \(v=v_0-gt\). Vzdálenost (okamžitá výška) tělesa nad bodem, z něhož bylo vrženo, je dána vztahem \(s=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\). V nejvyšším bodě výstupu je rychlost nulová. Odsud získáme dobu výstupu \(T=\frac{v_0}{g}\). Dosazením do vztahu pro dráhu dostaneme po úpravě výšku výstupu \(h=\frac{v_0^2}{2g}\). Z nejvyššího bodu trajektorie padá těleso zpět volným pádem a bodu, z něhož bylo vrženo dosáhne za dobu, která se rovná době výstupu.
  • Vodorovný vrh - Při vodorovném vrhu směřuje počáteční rychlost ve směru osy x (elevační úhel \(\alpha=0\)). Délka vrhu je vzdálenost za kterou dojde ke změně y-ové souřadnice o velikost \(h\). Platí pro ni doba letu \(T=\sqrt{\frac{2h}{g}}\). Dosazením doby letu do vztahu pro x-ovou souřadnici získáme délku vrhu \(d=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}\).

Související články