Čekání na nový webový server Multimediaexpo.cz skončilo !
Motorem našeho webového serveru bude pekelně rychlý
procesor AMD Ryzen Threadripper 7960X (ZEN 4).
Motorem našeho webového serveru bude pekelně rychlý
procesor AMD Ryzen Threadripper 7960X (ZEN 4).
Grupoid
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi) |
(+ Masivní vylepšení) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
- | { | + | {| align="right" class="wikitable" |
- | + | ! colspan="4"| <big>Struktury s jednou binární operací</big> | |
+ | |- | ||
+ | ! | ||
+ | ! width=60 | [[Asociativita]] | ||
+ | ! width=60 | [[Neutrální prvek]] | ||
+ | ! width=60 | [[Inverzní prvek]] | ||
+ | |- align="center" | ||
+ | ! [[Grupa]] | ||
+ | | [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] | ||
+ | |- align="center" | ||
+ | ! [[Monoid]] | ||
+ | | [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] | ||
+ | |- align="center" | ||
+ | ! [[Pologrupa]] | ||
+ | | [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] | ||
+ | |- align="center" | ||
+ | ! [[Lupa (matematika)|Lupa]] | ||
+ | | [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] | ||
+ | |- align="center" | ||
+ | ! [[Kvazigrupa]] | ||
+ | | [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] | ||
+ | |- align="center" | ||
+ | ! [[Grupoid]] | ||
+ | | [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] | ||
+ | |} | ||
+ | V [[algebra|algebře]] je '''grupoid''' základní [[algebraická struktura]] s jednou operací. Je to [[množina]] ''A'', na které je definována jedna [[binární operace]] •. Množina ''A'' je vzhledem k operaci • [[uzavřená množina|uzavřená]], tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny ''A'' je prvek množiny ''A''. | ||
+ | |||
+ | ==Definice== | ||
+ | [[množina|Množinu]] <math>(\mathbb{M})</math>, na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme '''grupoid''' a značíme <math>(\mathbb{M};\cdot)</math>. | ||
+ | |||
+ | ==Příklady== | ||
+ | * ('''N'''; +) - operace [[sčítání]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]]. | ||
+ | * ('''N'''; ·) - operace [[násobení]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]]. | ||
+ | |||
+ | ==Protipříklady== | ||
+ | * ('''N'''; -) - operace [[odčítání]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není uzavřená. | ||
+ | * ('''N'''; :) - operace [[dělení]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není uzavřená. | ||
+ | |||
+ | ==Vlastnosti== | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''asociativní''', právě když (∀''x'',''y'',''z'' ∈ M)(''x·y'')·''z'' = ''x''·(''y·z'') - tj. operace na něm definovaná je [[asociativita|asociativní]]. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se [[pologrupa]]. | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s neutrálním prvkem''', právě když (∃''e'' ∈ M)(∀''x'' ∈ M) ''e·x'' = ''x·e'' = ''x'' - tj. operace na něm definovaná má [[neutrální prvek]]. | ||
+ | **Jde-li o operaci násobení (tj. '''multiplikativní symboliku''') pak neutrálnímu prvku říkáme '''jednotkový prvek''' a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. '''aditivní symboliku''') pak neutrálnímu prvku říkáme '''nulový prvek''' a značíme: 0. | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s inverzními prvky''', právě když 1 ∈ M ∧ (∀''x'' ∈ M)(∃''y'' ∈ M) ''x·y'' = ''y·x'' = 1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také [[inverzní prvek]]. | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''komutativní''', právě když (∀''x,y'' ∈ M)''x·y'' = ''y·x'' - tj. operace na něm definovaná je [[komutativita|komutativní]]. | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s krácením zleva''', právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y). | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s krácením zprava''', právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y). | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s krácením''', právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y). | ||
+ | *Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s dělením''', právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y). | ||
+ | |||
+ | === Související články === | ||
+ | * [[Pologrupa]] – grupoid, jehož operace je asociativní | ||
+ | * [[Monoid]] – grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek | ||
+ | * [[Grupa]] – monoid rozšířený o [[Inverzní prvek|inverzní]] operaci | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Článek z Wikipedie}} | ||
[[Kategorie:Algebraické struktury]] | [[Kategorie:Algebraické struktury]] |
Verze z 30. 10. 2015, 00:49
Struktury s jednou binární operací | |||
---|---|---|---|
Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | |
Grupa | |||
Monoid | |||
Pologrupa | |||
Lupa | |||
Kvazigrupa | |||
Grupoid |
V algebře je grupoid základní algebraická struktura s jednou operací. Je to množina A, na které je definována jedna binární operace •. Množina A je vzhledem k operaci • uzavřená, tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A.
Obsah |
Definice
Množinu <math>(\mathbb{M})</math>, na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme <math>(\mathbb{M};\cdot)</math>.
Příklady
- (N; +) - operace sčítání na množině přirozených čísel.
- (N; ·) - operace násobení na množině přirozených čísel.
Protipříklady
- (N; -) - operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená.
- (N; :) - operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená.
Vlastnosti
- Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·y)·z = x·(y·z) - tj. operace na něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
- Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = x - tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
- Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.
- Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.
- Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x - tj. operace na něm definovaná je komutativní.
- Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).
- Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).
- Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).
- Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).
Související články
- Pologrupa – grupoid, jehož operace je asociativní
- Monoid – grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek
- Grupa – monoid rozšířený o inverzní operaci
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |