V pátek 26. dubna 2024 úderem 22 hodiny začíná naše nová
a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!

Grupoid

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Grupoid|700}}
+
{| align="right" class="wikitable"
-
 
+
! colspan="4"| <big>Struktury s jednou binární operací</big>
 +
|-
 +
! &nbsp;&nbsp;
 +
! width=60 | [[Asociativita]]
 +
! width=60 | [[Neutrální prvek]]
 +
! width=60 | [[Inverzní prvek]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Grupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] ||  [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Monoid]]
 +
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Pologrupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Lupa (matematika)|Lupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Kvazigrupa]]
 +
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|- align="center"
 +
! [[Grupoid]]
 +
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
 +
|}
 +
V [[algebra|algebře]] je '''grupoid''' základní [[algebraická struktura]] s jednou operací. Je to [[množina]] ''A'', na které je definována jedna [[binární operace]] •. Množina ''A'' je vzhledem k operaci • [[uzavřená množina|uzavřená]], tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny ''A'' je prvek množiny ''A''.
 +
 
 +
==Definice==
 +
[[množina|Množinu]] <big>\((\mathbb{M})\)</big>, na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme '''grupoid''' a značíme <big>\((\mathbb{M};\cdot)\)</big>.
 +
 
 +
==Příklady==
 +
* ('''N'''; +) - operace [[sčítání]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]].
 +
* ('''N'''; ·) - operace [[násobení]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]].
 +
 
 +
==Protipříklady==
 +
* ('''N'''; -) - operace [[odčítání]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není uzavřená.
 +
* ('''N'''; :) - operace [[dělení]] na množině [[přirozené číslo|přirozených čísel]] není uzavřená.
 +
 
 +
==Vlastnosti==
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''asociativní''', právě když (∀''x'',''y'',''z''&nbsp;∈&nbsp;M)(''x·y'')·''z''&nbsp;=&nbsp;''x''·(''y·z'') - tj. operace na něm definovaná je [[asociativita|asociativní]]. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se [[pologrupa]].
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s neutrálním prvkem''', právě když (∃''e''&nbsp;∈&nbsp;M)(∀''x''&nbsp;∈&nbsp;M)&nbsp;''e·x''&nbsp;=&nbsp;''x·e''&nbsp;=&nbsp;''x'' - tj. operace na něm definovaná má [[neutrální prvek]].
 +
**Jde-li o operaci násobení (tj. '''multiplikativní symboliku''') pak neutrálnímu prvku říkáme '''jednotkový prvek''' a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. '''aditivní symboliku''') pak neutrálnímu prvku říkáme '''nulový prvek''' a značíme: 0.
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s inverzními prvky''', právě když 1&nbsp;∈&nbsp;M&nbsp;∧ (∀''x''&nbsp;∈&nbsp;M)(∃''y''&nbsp;∈&nbsp;M) ''x·y''&nbsp;=&nbsp;''y·x''&nbsp;=&nbsp;1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také [[inverzní prvek]].
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''komutativní''', právě když (∀''x,y''&nbsp;∈&nbsp;M)''x·y''&nbsp;=&nbsp;''y·x'' - tj. operace na něm definovaná je [[komutativita|komutativní]].
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s krácením zleva''', právě když (∀x,y,z&nbsp;∈&nbsp;M) (z·x&nbsp;=&nbsp;z·y ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y).
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s krácením zprava''', právě když (∀x,y,z&nbsp;∈&nbsp;M) (x·z&nbsp;=&nbsp;y·z ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y).
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s krácením''', právě když (∀x,y,z&nbsp;∈&nbsp;M) (z·x&nbsp;=&nbsp;z·y ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y) ∧ (x·z&nbsp;=&nbsp;y·z ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y).
 +
*Grupoid (M; ·) se nazývá '''grupoid s dělením''', právě když (∀x,y&nbsp;∈&nbsp;M)(∃u,v&nbsp;∈&nbsp;M) (x·u&nbsp;=&nbsp;y ∧ v·x&nbsp;=&nbsp;y).
 +
 
 +
=== Související články ===
 +
* [[Pologrupa]] – grupoid, jehož operace je asociativní
 +
* [[Monoid]] – grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek
 +
* [[Grupa]] – monoid rozšířený o [[Inverzní prvek|inverzní]] operaci
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Struktury s jednou binární operací
   Asociativita Neutrální prvek Inverzní prvek
Grupa FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Monoid FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png
Pologrupa FFresh tick octagon.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Lupa FFresh cancel.png FFresh tick octagon.png FFresh tick octagon.png
Kvazigrupa FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png
Grupoid FFresh cancel.png FFresh cancel.png FFresh cancel.png

V algebře je grupoid základní algebraická struktura s jednou operací. Je to množina A, na které je definována jedna binární operace •. Množina A je vzhledem k operaci • uzavřená, tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A.

Obsah

Definice

Množinu \((\mathbb{M})\), na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme \((\mathbb{M};\cdot)\).

Příklady

Protipříklady

Vlastnosti

  • Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·y)·z = x·(y·z) - tj. operace na něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = x - tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
    • Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x - tj. operace na něm definovaná je komutativní.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).

Související články

  • Pologrupa – grupoid, jehož operace je asociativní
  • Monoid – grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek
  • Grupa – monoid rozšířený o inverzní operaci


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Grupoid“