Kvadratura kruhu

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 6. 8. 2014, 10:05

Kruh a čtverec o stejném obsahu

Kvadratura kruhu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou duplikace krychle a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy kvadratura kruhu zní v jazyce moderní matematiky takto:

Nalezněte obecnou euklidovskou konstrukci, pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat čtverec o stejném obsahu, jako má daný kruh.

Poněkud méně formálně:

K danému kruhu zkonstruujte čtverec o stejném obsahu pouze za užití pravítka a kružítka.

Historie

Problém je zřejmě tak starý jako geometrie sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit Archimédovu spirálu, pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.

Důkaz neřešitelnosti

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla <math>\sqrt{\pi}</math>. Problém je, že toto číslo je transcendentní. Neboli není algebraické, a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla π byla dokázána roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem. Pokud by se někomu podařilo vyřešit kvadraturu kruhu, našel by také nutně algebraickou hodnotu <math>\pi</math>, což je nemožné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se použije racionální aproximace čísla <math>\pi</math>, kvadratura je možná. Toto je však pouze přibližné řešení, které nesplňuje původní zadání problému. Je samozřejmé, že čím přesnější aproximace čísla <math>\pi</math> se použije, tím přesnější řešení získáme. Matematici již předvedli množství postupů, které k takovémuto přibližnému výsledku vedou.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, potom je kvadratura také možná.

I když kvadratura kruhu je neuskutečnitelná v Euklidově prostoru, je možná v Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru.

Související články

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-[[Soubor:SquareCircle.svg|frame|Kruh a čtverec o stejném obsahu]]
+[[Soubor:SquareCircle.png|thumb|220px|Kruh a čtverec o stejném obsahu]]
-'''Kvadratura [[kruh]]u''' je [[1 (číslo)|jeden]] ze [[3 (číslo)|tří]] nejslavnějších antických [[konstrukce (geometrie)|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[duplikace krychle]] a [[trisekce úhlu]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19.&nbsp;století dokázáno, že jsou neřešitelné.
+'''Kvadratura [[kruh]]u''' je [[1 (číslo)|jeden]] ze [[3 (číslo)|tří]] nejslavnějších antických [[konstrukce (geometrie)|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[duplikace krychle]] a [[trisekce úhlu]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto problémy byly formulovány již v&nbsp;5.&nbsp;století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19.&nbsp;století dokázáno, že jsou neřešitelné.
 == Přesné zadání úlohy ==
 Obecné zadání úlohy '''kvadratura kruhu''' zní v jazyce moderní [[matematika|matematiky]] takto:
-''Nalezněte obecnou [[euklidovská konstrukce|euklidovskou konstrukci]], pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat [[čtverec]] o stejném [[obsah]]u, jako má daný [[Kruh (geometrie)|kruh]].''
+''Nalezněte obecnou [[euklidovská konstrukce|euklidovskou konstrukci]], pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat [[čtverec]] o stejném [[obsah]]u, jako má daný [[Kružnice|kruh]].''
 Poněkud méně formálně: