Vrh šikmý

Z Multimediaexpo.cz

Vrh šikmý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost svírá s horizontem nenulový elevační úhel.

Pokud vrh probíhá ve vakuu, pohybuje se těleso po parabole, ve vzduchu (tzn. s nezanedbatelným odporem vzduchu) po tzv. balistické křivce.

Matematický model

Předpokládejme, že těleso má počáteční rychlost v0 svírající s vodorovným směrem elevační úhel α. Následný pohyb (ve vakuu, resp. při zanedbání odporu vzduchu) se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu touto rychlostí v původním směru (tímto směrem položíme osu x) a z volného pádu (tedy rovnoměrně zrychleného pohybu) ve směru gravitačního zrychlení g, který lze ztotožnit s pohybem ve směru osy y. Ve směru osy z tedy pohyb neprobíhá (trajektorií tedy bude rovinná křivka).

Proto platí:

<math>x = x_0 + v_0 t \cos{\alpha}\,</math>,
<math>y = y_0 + v_0 t \sin{\alpha} - \frac{1}{2} g t^2</math>.

Obvykle je vhodné položit počátek soustavy souřadnic do bodu <math>[x_0,y_0]</math>.


Z uvedených rovnic lze určit maximální dosaženou výšku:

<math>y_{max} = y_0 + \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2{\alpha} }{g}</math>

a délku vrhu (tedy vzdálenost, po které těleso klesne do původní výšky), neboli dostřel:

<math>d = \frac{v_0^2}{g} \sin{2\alpha}</math>

Při pohybu v prostředí s nezanedbatelným odporem opisuje těleso asymetrickou balistickou křivku, u které je délka vrhu kratší než u pohybu při zanedbání odporu vzduchu.

Speciální případy

  • Volný pád - Počáteční rychlost je nulová a pro rychlost dostáváme vztah <math>v=gt</math>. Dráha, kterou těleso urazí od počátku do času <math>t</math> je <math>s=\frac{1}{2}gt^2</math>.
  • Svislý vrh vzhůru - Celý pohyb probíhá pouze ve směru osy y (elevační úhel <math>\alpha=\frac{\pi}{2}</math>). Počáteční rychlost <math>v_0</math> je nenulová (pro nulovou počáteční rychlost by se jednalo o volný pád). Pro rychlost pak dostaneme vztah <math>v=v_0-gt</math>. Vzdálenost (okamžitá výška) tělesa nad bodem, z něhož bylo vrženo, je dána vztahem <math>s=v_0t-\frac{1}{2}gt^2</math>. V nejvyšším bodě výstupu je rychlost nulová. Odsud získáme dobu výstupu <math>T=\frac{v_0}{g}</math>. Dosazením do vztahu pro dráhu dostaneme po úpravě výšku výstupu <math>h=\frac{v_0^2}{2g}</math>. Z nejvyššího bodu trajektorie padá těleso zpět volným pádem a bodu, z něhož bylo vrženo dosáhne za dobu, která se rovná době výstupu.
  • Vodorovný vrh - Při vodorovném vrhu směřuje počáteční rychlost ve směru osy x (elevační úhel <math>\alpha=0</math>). Délka vrhu je vzdálenost za kterou dojde ke změně y-ové souřadnice o velikost <math>h</math>. Platí pro ni doba letu <math>T=\sqrt{\frac{2h}{g}}</math>. Dosazením doby letu do vztahu pro x-ovou souřadnici získáme délku vrhu <math>d=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}</math>.

Související články

Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Vrh_%C5%A1ikm%C3%BD“