V pátek 26. dubna 2024 úderem 22 hodiny začíná naše nová
a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!

Elektrický potenciál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Výrazné vylepšení)
(+ Aktualizace)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Elektrický potenciál|700}}
+
'''Elektrický potenciál''' je [[skalár]]ní [[fyzikální veličina]], která popisuje [[Potenciální energie|potenciální energii]] jednotkového [[Elektrický náboj|elektrického náboje]] v neměnném [[Elektrické pole|elektrickém poli]]. Jedná se tedy o [[potenciál]] elektrického pole, tzn. množství [[Práce (fyzika)|práce]] potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa.
 +
Za místo s [[nula|nulovým]] potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď [[nekonečno|nekonečně]] vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch [[Země]].
 +
 +
== Značení ==
 +
* Značka: ''φ''
 +
* [[fyzikální jednotka|Jednotka]]: [[volt]], značka: V
 +
 +
== Výpočet ==
 +
Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje [[potenciální energie|potenciální energii]] na jednotku [[elektrický náboj|náboje]], je možné jej vyjádřit jako
 +
:<big>\(\varphi = \frac{W}{Q}\)</big>,
 +
kde ''W'' je potenciální energie nabitého tělesa a ''Q'' je jeho náboj.
 +
 +
 +
Potenciál [[bodový náboj|bodového náboje]], který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako
 +
:<big>\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0\)</big>,
 +
kde <big>\(\boldsymbol{r}\)</big> je [[polohový vektor]] bodu prostoru a <big>\(\varphi_0\)</big> je [[Integrační konstanta]], která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu.
 +
Obvykle se klade <big>\(\varphi_0 = 0\)</big>.
 +
 +
Potenciál objemově rozloženého náboje s [[hustota elektrického náboje|hustotou náboje]] <big>\(\rho\)</big> lze vyjádřit vztahem
 +
:<big>\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}V\)</big>,
 +
kde <big>\(V\)</big> je celkový [[objem]], přes který se [[Integrál|integruje]].
 +
 +
Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje <big>\(\rho\)</big> nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude [[spojitost|spojitý]] a má ve všech bodech prostoru [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu, což v souvislosti s [[intenzita elektrického pole|intenzitou elektrického pole]] znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.
 +
 +
Potenciál [[plošný náboj|plošně rozloženého náboje]] lze vyjádřit jako
 +
:<big>\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}S\)</big>,
 +
kde <big>\(\sigma\)</big> je [[plošná hustota elektrického náboje]].
 +
 +
 +
Pro potenciál [[lineární náboj|lineárně rozloženého náboje]] platí
 +
:<big>\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}l\)</big>,
 +
kde <big>\(\tau\)</big> je [[lineární hustota elektrického náboje]].
 +
 +
=== Poissonova rovnice ===
 +
Dosadíme-li do [[Gaussův zákon elektrostatiky|Gaussova zákona elektrostatiky]] pro spojitě [[objemový náboj|rozložený náboj]] místo [[intenzita elektrického pole|intenzity elektrického pole]] potenciál, dostaneme
 +
:<big>\(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)</big>
 +
 +
Využijeme-li z [[vektorová analýza|vektorové analýzy]] tzv. [[Laplaceův operátor]] <big>\(\Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\)</big>, lze předchozí vztah zapsat ve tvaru [[Poissonova rovnice|Poissonovy rovnice]]
 +
:<big>\(\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)</big>
 +
 +
Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí [[Gaussův zákon elektrostatiky|Gaussův zákon]].
 +
 +
Pokud je v některých bodech prostoru [[objemová hustota elektrického náboje|objemová hustota]] [[nula|nulová]], tzn. <big>\(\rho=0\)</big>, zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako [[Laplaceova rovnice|rovnice Laplaceova]]
 +
:<big>\(\Delta\varphi = 0\)</big>
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
Na základě [[princip superpozice|principu superpozice]] lze odvodit výraz pro potenciál soustavy <big>\(n\)</big> bodových nábojů <big>\(Q_1\)</big> až <big>\(Q_n\)</big>, jejichž [[polohový vektor|polohové vektory]] jsou <big>\(\boldsymbol{r}_1\)</big> až <big>\(\boldsymbol{r}_n\)</big>.
 +
:<big>\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|} + \varphi_0\)</big>
 +
 +
Potenciál jednoho z bodových nábojů <big>\(Q_i\)</big> ze soustavy nábojů <big>\(Q_1\)</big> až <big>\(Q_n\)</big> vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako
 +
:<big>\(\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j|}\)</big>
 +
 +
Záporný [[Gradient (matematika)|gradient]] potenciálu je roven [[elektrická intenzita|intenzitě elektrického pole]], tzn.
 +
:<big>\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\boldsymbol{r})\)</big>
 +
 +
Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v [[nekonečno|nekonečnu]] roven [[nula|nule]], tzn. <big>\(\varphi_0=0\)</big>, potom lze podle předchozího vztahu psát
 +
:<big>\(\varphi(\boldsymbol{r}) = -\int_\infty^\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\)</big>
 +
 +
Rozdíl potenciálů je roven [[elektrické napětí|napětí]] mezi danými body.
 +
 +
[[Plocha]], na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. <big>\(\varphi=\mbox{konst}\)</big>, se nazývá [[ekvipotenciální plocha]].
 +
 +
[[Siločáry]] jsou vždy [[Ortogonalita|kolmé]] k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat [[Diferenciál (matematika)|diferenciací]] vztahu <big>\(\varphi=\mbox{konst}\)</big>, tzn.
 +
:<big>\(\mathrm{d}\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0\)</big>,
 +
kde <big>\(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\)</big> leží v [[tečná rovina|tečné rovině]] k ekvipotenciální ploše. [[Vektor]]y <big>\(\boldsymbol{E}\)</big> a <big>\(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\)</big> jsou tedy vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]], tzn. <big>\(\boldsymbol{E}\)</big> je kolmé k ekvipotenciální ploše.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Elektrické napětí]]
 +
* [[Elektrický náboj]]
 +
* [[Elektrické pole]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
 +
 +
{{Commonscat|Electric potential}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Fyzikální veličiny]]
[[Kategorie:Fyzikální veličiny]]
[[Kategorie:Elektromagnetismus]]
[[Kategorie:Elektromagnetismus]]
[[Kategorie:Elektrotechnika]]
[[Kategorie:Elektrotechnika]]

Aktuální verze z 2. 9. 2022, 17:40

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa.

Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.

Obsah

Značení

Výpočet

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

\(\varphi = \frac{W}{Q}\),

kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.


Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0\),

kde \(\boldsymbol{r}\) je polohový vektor bodu prostoru a \(\varphi_0\) je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \(\varphi_0 = 0\).

Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje \(\rho\) lze vyjádřit vztahem

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}V\),

kde \(V\) je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje \(\rho\) nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}S\),

kde \(\sigma\) je plošná hustota elektrického náboje.


Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}l\),

kde \(\tau\) je lineární hustota elektrického náboje.

Poissonova rovnice

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme

\(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)

Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor \(\Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\), lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice

\(\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)

Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.

Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. \(\rho=0\), zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova

\(\Delta\varphi = 0\)

Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy \(n\) bodových nábojů \(Q_1\) až \(Q_n\), jejichž polohové vektory jsou \(\boldsymbol{r}_1\) až \(\boldsymbol{r}_n\).

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|} + \varphi_0\)

Potenciál jednoho z bodových nábojů \(Q_i\) ze soustavy nábojů \(Q_1\) až \(Q_n\) vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

\(\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j|}\)

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\boldsymbol{r})\)

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. \(\varphi_0=0\), potom lze podle předchozího vztahu psát

\(\varphi(\boldsymbol{r}) = -\int_\infty^\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\)

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. \(\varphi=\mbox{konst}\), se nazývá ekvipotenciální plocha.

Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu \(\varphi=\mbox{konst}\), tzn.

\(\mathrm{d}\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0\),

kde \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory \(\boldsymbol{E}\) a \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. \(\boldsymbol{E}\) je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Elektrický potenciál
Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Elektrick%C3%BD_potenci%C3%A1l“