Plocha

Z Multimediaexpo.cz

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Obsah

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

,

kde je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž jsou parametry plochy. Každou dvojici z určitého oboru nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle a .

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy , rádiusvektorem a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou uvést v různých tvarech.


Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.
Broom icon.png

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů a .

kde jsou základní veličiny plochy prvního řádu a jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru .

kde jsou základní veličiny plochy prvního řádu a jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu a základními veličinami plochy druhého řádu .

Vlastnosti

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost jsou regulárními body. Je-li hodnost matice , pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost , pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

Externí odkazy